6. Контрагредиентные представления

Пусть представления группы О над одним и тем же полем, и пусть пространства этих представлений. Напомним, что билинейная форма В над называется невырожденной, если выполнены следующие условия: а) если таково, что для всех то если таково, что для всех то Если эти условия выполнены и если V конечномерно, то размерность V конечна и равна размерности Если векторные пространства одной и той же конечной размерности, то условия а) и б) эквивалентны. Далее, говорят, что два представления контрагредиентны, если существует невырожденная билинейная форма В над такая, что

для всех говорят также, что представления контрагредиентны относительно формы В. Заметим, что определяющее условие может быть также записано в виде

Пусть V — пространство, дуальное к Напомним, что под сопряженным эндоморфизмом эндоморфизма пространства V мы понимаем тот эндоморфизм пространства V, который переводит всякую линейную функцию над пространством V в линейную функцию Если — два эндоморфизма пространства V, то

Отсюда следует, что отображение является представлением группы О, контрагредиентным к относительно канонической билинейной формы над Это представление называется дуальным к представлению

Пусть В — билинейная форма над произведением двух векторных пространств Если то отображение линейная функция на V, т. е. элемент пространства V, дуального обозначим эту функцию через Отображение пространства линейно; оно называется отображением, естественно соответствующим билинейной форме В. Если —пространства представлений группы взаимно контрагредиентные относительно то для всех имеем

Если форма В невырождена, то отображение взаимно однозначно; если, кроме того, пространства конечномерны, то изоморфизм V на V и, как легко видеть, представление эквивалентно представлению, дуальному к Из этого следует, что все представления, контрагредиентные данному конечномерному представлению, эквивалентны между собой (для бесконечномерных представлений это, вообще говоря, не так). Кроме того, если представление конечной степени, то представление, дуальное к представлению, дуальному к эквивалентно Таким образом, для того чтобы два представления конечной степени группы были контрагредиентны, необходимо и достаточно, чтобы каждое из них было эквивалентно представлению, дуальному к другому.

Пусть алгебраическая группа, два рациональных представления группы взаимно контрагредиентных относительно невырожденной билинейной формы В над произведением пространств этих представлений. Пусть дифференциалы представлений и эти

дифференциалы являются представлениями алгебры Ли группы О. Покажем, что

для всех и всех Действительно, отождествим с подпространствами произведения и рассмотрим представление декартово произведение представлений Определенную над билинейную форму В можно продолжить в билинейную форму С над произведением ( положив

Тогда из самого определения следует, что контрагредиентно самому себе относительно С. Группа содержится поэтому в группе автоморфизмов пространства для которых

при всех

Форма С невырождена. Действительно, пусть элемент из Для которого при всех Положив сперва имеем для всех так что положив затем мы аналогичным образом найдем, что что и доказывает наше утверждение. Таким образом, группа алгебраическая группа, алгебра Ли которой состоит из эндоморфизмов пространства для которых

при всех из (ср. том II, гл. II, § 10, пример I).

Для имеем но переводит элемент вида это доказывает формулу (1).

Пусть вообще представления алгебры Ли а пространства этих представлений. Если существует невырожденная билинейная форма В на такая, что выполняется формула (1) для всех то мы будем говорить, что представления взаимно контрагредиентны, или взаимно контрагредиентны относительно формы В.

Пусть V — пространство представления алгебры Ли дуальное к нему пространство. Как легко видеть, отображение алгебры в пространство эндоморфизмов пространства V является тогда представлением алгебры оно называется дуальным к представлению Если алгебра Ли алгебраической группы дифференциал рационального представления группы то представление, дуальное к есть дифференциал представления, дуального к которое также является рациональным представлением Это следует из доказанных выше результатов и из того, что для коэффициенты матрицы, представляющей в некотором базисе пространства V, могут быть выражены в виде рациональных функций от коэффициентов матрицы, представляющей в некотором базисе пространства

Так как предполагается, что представления алгебры Ли всегда конечной степени, то видно, что два представления алгебры Ли взаимно контрагредиентны тогда и только тогда, когда каждое из них эквивалентно представлению, дуальному к другому.

Предложение 7. Пусть два рациональных представления неприводимой алгебраической группы над полем характеристика 0, и пусть пространства этих представлений. Для того чтобы были взаимно контрагредиентны относительно невырожденной билинейной формы В над необходимо и достаточно, чтобы были взаимно контрагредиентны относительно В.

Это следует непосредственно из предложения примененного к линейному отображению пространства V в дуальное к V пространство, естественно соответствующему форме В.

Заметим, что без предположений о неприводимости группы и о равенстве нулю характеристики основного поля указанное

выше условие остается необходимым, как это следует из нашего изложения.