2. Существование групп и алгебр Картана

В этом и последующих п° мы будем пользоваться следующими обозначениями. Через К условимся обозначать поле характеристики 0, через V — конечномерное векторное пространство над через неприводимую алгебраическую подгруппу группы через алгебру Ли группы через а — произвольную алгебру Ли над К. Далее, будем обозначать через I тождественный автоморфизм алгебры для через условимся обозначать образ элемента при присоединенном представлении группы (следовательно, для всех через множество элементов из аннулируемых степенями оператора и через пересечение всех алгебраических подгрупп группы алгебры Ли которых содержат алгебру Для через мы обозначим множество элементов из а, аннулируемых степенями оператора

Таким образом, есть алгебраическая группа, алгебра Ли которой содержит алгебру (том II, теорема 11 из § 14 гл. II); несколько позже мы убедимся, что ее алгебра Ли совпадает с Так как алгебраическая компонента единицы группы имеет ту же алгебру Ли, что и то группа неприводима.

Предложение 5. Всякая группа Картана группы является алгебраической группой. Для того чтобы подалгебра алгебры была алгеброй Ли некоторой группы Картана группы необходимо и достаточно, чтобы она была алгеброй Картана алгебры

Пусть группа Картана группы Тогда наименьшая алгебраическая подгруппа в содержащая нильпотентна (следствие предложения 10 из § 3 гл. V) и, следовательно, совпадает с так как максимальная нильпотентная подгруппа. Таким образом, алгебраическая группа, и ее алгебра Ли нильпотентна (предложение 13 из § 3 гл. V). Пусть алгебраическая компонента единицы группы нормальный делитель конечного индекса в следовательно, подгруппа конечного индекса в своем нормализаторе Но -алгебраическая группа, алгебра Ли которой является нормализатором алгебры в g (следствие 1 предложения 11 из гл. III, п°9). Итак, алгебраическая компонента единицы группы 9 (том II, теорема 2 из § 3 гл. II), так что это показывает, что алгебра Картана алгебры

Пусть, наоборот, алгебра Картана алгебры тогда алгебраическая алгебра, согласно следующей лемме:

Лемма 1. Всякая подалгебра I) алгебры совпадающая со своим нормализатором в есть алгебраическая алгебра.

Действительно, наименьшая алгебраическая алгебра содержащая содержится в и содержит в качестве идеала (том II, теорема 13 из § 14 гл II); следовательно,

Пусть неприводимая алгебраическая подгруппа в алгебра Ли которой есть Группа нильпотентна (предложение 13 из § 3 гл. V). Пусть нильпотентная подгруппа в содержащая Тогда содержится в алгебраической нильпотентной подгруппе группы (следствие предложения 10 из § 3 гл. V), и ее алгебра Ли нильпотентна (предложение 13 из § 3 гл. V) и содержит так что (предложение 1). Отсюда следует, что содержит в качестве нормального делителя конечного индекса и, в свою очередь, содержится в нормализаторе 9 группы Но алгебра Ли группы есть нормализатор алгебры Ли группы следовательно, совпадает с Таким образом, группа конечна и существует только конечное число групп, промежуточных между Среди тех из них, которые нильпотентны, можно выбрать максимальную группу из сказанного выше следует, что максимальная нильпотентная подгруппа в Пусть -нормальный делитель конечного индекса в и пусть 51— наименьшая алгебраическая группа, содержащая 51. Группа алгебраическая, так как она содержит в качестве подгруппы конечного индекса (том II, предложение 3

из § 3 гл. II), так что Так как то — конечного индекса в следовательно, содержит теорема 2 из § 3 гл. II). Если элемент 5 группы содержится в нормализаторе группы то ясно, что отображение переводит всякую алгебраическую группу, содержащую в алгебраическую группу, содержащую так что Так как алгебраическая компонента единицы в то и Итак, нормализатор группы есть подгруппа в и эта подгруппа содержит, очевидно, Группы и конечны, так что имеет конечный индекс в своем нормализаторе. Это показывает, что группа Картана группы

Предложение 5 сводит проблему доказательства существования групп Картана группы к аналогичной проблеме для алгебр Картана алгебры Для этой цели мы будем пользоваться следующими понятиями:

Определение 2. Рангом группы G (соответственно алгебры а) назовем наименьшую кратность нуля эндоморфизмов при (соответственно эндоморфизмов при векторного пространства g (соответственно а). Регулярными мы будем называть те элементы из G (соответственно X из а), для которых кратность нуля (соответственно ) равна рангу группы G (соответственно алгебры а).

Это определение ранга алгебры Ли а не совпадает с определением, данным Киллингом и принятым Картаном. Киллинг дал следующее определение: пусть -характеристический полином эндоморфизма где X — любой элемент из а. Тогда коэффициенты полиномиальные функции над а, и Киллинг называл рангом алгебры а степень трансцендентности над К поля, порожденного коэффициентами в поле рациональных функций над а. В определении Киллинга нильпотентные алгебры имели ранг 0, между тем как в нашем определении нильпотентными алгебрами являются те, ранг которых равен их размерности (согласно следствию 2 предложения 1 § 3). Однако можно показать, что наше определение согласуется с определением Киллинга в случае полупростых алгебр.

Предложение 6. Множество регулярных элементов группы G (соответственно алгебры а) относительно открыто

в группе О (соответственно в алгебре а) в смысле топологии Зариского.

(Топология Зариского группы О индуцирована на О топологией Зариского векторного пространства эндоморфизмов пространства Предложение 6 вытекает непосредственно из предложения 3 § 3 и из следствия этого предложения.

Предложение 7. Если регулярный элемент в О, то все сопряженные к нему элементы в О также регулярны. Если X — регулярный элемент алгебры и а — ее автоморфизм, то и элемент регулярен.

Если

эндоморфизм, подобный эндоморфизму и имеет, следовательно, тот же характеристический полином и ту же кратность нуля, что и Это доказывает первое утверждение. Имеем

обладает той же кратностью нуля, что и

Предложение 8. Пусть элемент группы О (соответственно X — элемент алгебры а). Множество {соответственно ) есть подалгебра в (соответственно в а), размерность которой равна кратности нуля эндоморфизма (соответственно эндоморфизма Существует одно и только одно подпространство (соответственно алгебры (соответственно алгебры а), обладающее следующими свойствами: (соответственно а) есть прямая сумма пространства [соответственно (соответственно (соответственно отображается в себя эндоморфизмом (соответственно Ограничение (соответственно на (соответственно на есть автоморфизм этого пространства. Имеем

Алгебра Ли группы есть

Установим сначала следующую лемму:

Лемма 2. Если полупростая компонента элемента то и полупростая компонента оператора есть полупростая компонента есть

Из предложения 5 и из теоремы 18 § 14 гл. II (том II) вытекает, что можно положить где нильпотентный элемент из перестановочный с 5. Имеем

и оператор перестановочен с Оператор полупрост (следствие 3 предложения 2 § 5 гл. IV); нильпотентен и

(предложение 15 из § 3 гл. V); это показывает, что оператор нильпотентен. Из теоремы 18 § 14 гл. II (том II) следует, что есть полупростая компонента эндоморфизма Второе утверждение леммы непосредственно вытекает из первого.

Теперь обозначим через полупростую компоненту элемента 5 и через и — полупростую компоненту эндоморфизма Из предложения 2 § 3 вытекают следующие факты: [соответственно есть подпространство в (соответственно в а) размерности, равной кратности нуля эндоморфизма (соответственно и является пространством всех элементов из (соответственно из а), которые аннулируются эндоморфизмом (соответственно эндоморфизмом а); существует одно и только одно подпространство (соответственно (соответственно в а), обладающее сформулированными свойствами; есть ограничение (соответственно на (соответственно на есть автоморфизм этого пространства.

Элементы из аннулируемые эндоморфизмом это те элементы, которые перестановочны с Таким образом, является алгеброй Ли группы тех элементов из которые перестановочны с (предложение 12 из § 1 гл. III). Так как алгебраическая алгебра, то она есть алгебра Ли группы Пусть элемент из элемент из Тогда можно положить где Так как перестановочен с то

отсюда следует, что

Алгебра дериваций алгебры а является алгебраической алгеброй (том II, теорема 16 из § 14 гл. II); следовательно, и принадлежит (том II, предложения 2 и 3 из § 14 гл. II).

Так как и— деривация, то множество элементов из а, аннулируемых эндоморфизмом и, образует подалгебру в а. Пусть -элемент из и пусть элемент из Тогда имеем где Отсюда, так как мы заключаем, что это показывает, что Предложение 8 доказано.

Следствие 1. При тех же обозначениях, что и в ложении 8, группа является алгебраической компонентой единицы в централизаторе в О полупростой компоненты эндоморфизма

Это утверждение следует из сказанного в доказательстве предложения 8 и из неприводимости группы

Следствие 2. При обозначениях предложения 8, если отображает в себя. Если такой элемент из что индуцирует автоморфизм в то множество элементов обладающих этим свойством, непусто и относительно открыто в (в смысле топологии Зариского).

Первое утверждение вытекает из следствия 1 теоремы 1 гл. III, п° 9. Пусть множество тех для которых индуцирует автоморфизм в Пусть элемент из - элемент из где и Пусть такой показатель, что

Тогда

Так как сумма и прямая, то

откуда следует, что Итак,

Множество непусто, поскольку оно содержит единицу группы Множество относительно открыто в согласно следствию предложения 3 § 3.

Следствие 3. При обозначениях предложения 8 имеем и алгебра совпадает со своим нормализатором в а.

Имеем так как Пусть элемент из нормализатора алгебры где Имеем

Так как сумма прямая, то откуда следует, что так как индуцирует автоморфизм в Это доказывает следствие 3.

Следствие 4. При обозначениях предложения 8, если элемент из то алгебраическая алгебра.

Это утверждение вытекает из следствия 3 и леммы 1.

Предложение 9. Если X — регулярный элемент из а, то алгебра Картана алгебры а.

Пусть соответственно ранги алгебр Определяя пространство как в предложении 8, мы видим, что ограничение на имеет кратность нуля, равную 0. С помощью предложения 3 § 3 можно убедиться, что существует элемент являющийся регулярным как в а, так и в и такой, что кратность нуля ограничения на равна 0. Так как образ X в присоединенном представлении и есть ограничение на то из следствия 1 предложения 1 § 3 вытекает, что Но размерность алгебры равна (предложение 8); поэтому ранг алгебры равен его размерности. Согласно следствию 2 предложения 1 § 3, отсюда вытекает, что для всех ограничение оператора на нильпотентно, т. е. что алгебра нильпотентна. Таким образом, из следствия 3 предложения 8 можно заключить, что алгебра Картана алгебры а.

Мы увидим позже, что всякая алгебра Картана алгебры а может быть представлена в виде где X — регулярный элемент из а. Но уже теперь предложение 9 гарантирует существование алгебр Картана алгебры согласно предложению 5, групп Картана группы О.