§ 5. Теорема Адо

1. Универсальная алгебра алгебры Ли

Определение 1. Пусть алгебра Ли, и пусть -тензорная алгебра над структурой векторного пространства Пусть двусторонний идеал, порожденный в элементами вида

Алгебра называется универсальной алгеброй алгебры

Ясно, что ассоциативная унитарная алгебра. Естественное отображение алгебры на индуцирует линейное

отображение которое мы будем называть естественным отображением Если принадлежат то

(если элементы ассоциативной алгебры, то через мы обозначаем элемент Действительно, элемент

является образом при отображении элемента

принадлежащего идеалу Элементы из составляют систему почти-образующих алгебры

Предложение 1. Пусть алгебра Ли, универсальная алгебра над естественное отображение Если линейное отображение алгебры в ассоциативную унитарную алгебру такое, что

каковы бы ни были из то существует один и только один унитарный гомоморфизм алгебры такой, что для всех

Отображение можно продолжить в унитарный гомоморфизм тензорной алгебры над в Из наших предположений относительно вытекает, что

если принадлежат таким образом, отображение переводит идеал описанный в определении 1, в и индуцирует при переходе к фактор-алгебре гомоморфизм алгебры в алгебру обладающий требуемыми свойствами. Этот гомоморфизм однозначно определен требуемыми от него свойствами, так как является системой почти-образующих для

Пусть, в частности, представление алгебры — пространство представления . Если - алгебра эндоморфизмов пространства V, то представлению соответствует унитарный гомоморфизм алгебры т. е. некоторое представление алгебры Если X — ядро этого представления то алгебра изоморфна некоторой подалгебре алгебры следовательно, конечномерна. Пусть, наоборот, двусторонний идеал в

такой, что фактор-алгебра конечномерна. Для обозначим через оператор умножения в слева на и. Это эндоморфизм векторного пространства отображающий идеал в себя. При переходе к фактор-алгебре оператор индуцирует линейное отображение алгебры в себя. Отображение очевидно, линейно. Кроме того, для из имеем

откуда

Таким образом, есть представление алгебры отсюда мы заключаем, что представление алгебры в пространстве Итак, мы видим, что всякий двусторонний идеал алгебры для которого пространство конечномерно, определяет представление алгебры Заметим, что на пространстве определена структура ассоциативной алгебры и что для и отображение как раз является оператором умножения слева на класс и элемента и в алгебре Для того чтобы необходимо, чтобы оператор отображал единицу 1 алгебры т. е. чтобы это условие также достаточно, так как двусторонний идеал. Итак, ядром представления алгебры определяемого двусторонним идеалом для которого пространство конечномерно, является множество всех для которых

Предложение 2. Пусть алгебра Ли, универсальная алгебра над и -естественное отображение Если деривация алгебры то существует единственная деривация алгебры такая, что

Деривация являясь линейным отображением алгебры в себя, может быть продолжена в деривацию тензорной алгебры над (том II, следствие предложения 11 из § 3 гл. I). Для из

и

отсюда немедленно следует, что элемент

принадлежит идеалу из определения 1. Поэтому оператор индуцирует при переходе к фактор-алгебре некоторую деривацию алгебры (том II, предложение 2 из § 3 гл. I), и ясно, что она обладает требуемыми свойствами. Существует только одна деривация алгебры с такими свойствами, так как система почти-образующих для (том II, следствие предложения 4 из § 3 гл. I).

Определение 2. Пусть алгебра Ли и ее алгебра дериваций. Пространство с операцией умножения, определенной на этом пространстве в лемме I § 2 гл. V, называется голоморфом алгебры

Мы обозначим через голоморф алгебры и отождествим обычным образом и с подпространствами в Напомним, что тогда оказывается идеалом алгебры Ли подалгеброй и что для

Пусть теперь универсальная алгебра над и -естественное отображение Обозначим через ассоциативную алгебру эндоморфизмов структуры векторного пространства Мы определим линейное отображение голоморфа алгебры Для обозначим через оператор умножения слева на

Для пусть деривация алгебры определенная в предложении 2. Представив элемент из в виде положим

Покажем, что отображение линейно и что

для из Пусть — элементы из основного поля.

Для из очевидно, имеем

с другой стороны, для

Пусть теперь элементы из Тогда операторы

— деривации алгебры (том II, предложение 5 из § 3 гл. I). Для имеем

Так как совпадают система почти-образующих для то эти деривации совпадают. Подобным же образом мы заключаем, что

Следовательно, отображение линейно и

если элементы принадлежат оба к или к Чтобы закончить доказательство нашего утверждения, достаточно установить, что

Левая часть этой формулы — оператор умножения слева на Но так как деривация, то для имеем

так что

что и доказывает наше утверждение.

Если двусторонний идеал в допускающий операторы то каждому элементу можно сопоставить эндоморфизм векторного пространства индуцируемый оператором при переходе к фактор-алгебре Если размерность пространства конечна, то представление алгебры I). Этот прием нам скоро пригодится для построения точных представлений алгебр Ли,

2. Леммы

В этом п° мы установим три леммы, которые понадобятся нам для доказательства теоремы

Лемма 1. Пусть -унитарная ассоциативная алгебра с конечным числом образующих, и пусть — двусторонний идеал в такой, что пространство конечномерно. Тогда идеал имеет конечное число образующих. Пусть целое число подпространство в порожденное произведениями из элементов идеала тогда двусторонний идеал и пространство конечномерно.

Пусть конечная система образующих алгебры и пусть класс элемента Добавляя, если нужно, к системе новые элементы, мы можем предположить, что содержит некоторый базис пространства Тогда мы имеем систему формул вида

где принадлежат основному полю. Элементы

принадлежат идеалу обозначим через двусторонний идеал, порожденный этими элементами. Пусть класс тогда порождает алгебру и

Отсюда легко следует, что всякий элемент из представим в виде линейной комбинации элементов с коэффициентами из основного поля (действительно, множество таких линейных комбинаций образует подалгебру в следовательно, пространство конечномерно. Пространство также конечномерно; конечную систему образующих для мы получим, если присоединим к элементам

элементы из X, классы которых образуют базис пространства

Так как множество двусторонний идеал, то и для каждого двусторонний идеал. Чтобы установить конечномерность пространства достаточно показать, что пространства конечномерны. Пусть конечная система образующих для идеала иначе говоря, всякий элемент из есть сумма элементов вида где принадлежат Отсюда следует, что всякий элемент из может быть представлен в виде суммы членов, каждый из которых есть произведение множителей, из которых принадлежат совокупности а остальные являются произвольными элементами из Если в таком произведении заменить один из множителей, не принадлежащий некоторым элементом, сравнимым с ним то класс произведения не изменится. Но каждый элемент из сравним с некоторой линейной комбинацией элементов с коэффициентами из основного поля. Отсюда мы можем заключить, что всякий элемент из сравним с линейной комбинацией членов, из которых каждый является произведением множителей из конечной совокупности

этим доказано, что размерность пространства конечна.

Лемма 2. Пусть деривация некоторой алгебры и пусть элементы из Тогда для каждого имеем

(Мы условимся, что представляет тождественный автоморфизм алгебры

Формула верна для Предположим, что она верна для Заметим, что

и что

Отсюда легко усмотреть, что формула верна для

Лемма 3. Пусть деривация конечномерной алгебры А. Предположим, что существуют множество образующих для А и такое целое число что для всех Тогда линейное отображение нильпотентно.

Действительно, пусть А — множество тех для которых существует целое число такое, что Пусть х и у — элементы из А, а целые положительные числа, для которых

Если и а — элементы из основного поля, то

а из леммы 2 непосредственно следует, что также нуль [так как если то либо либо Значит, А — подалгебра в и так как то Пусть базис алгебры если целое число такое, что то

Замечание. Это доказательство показывает, что даже без предположения конечномерности алгебры А можно заключить, что для каждого существует целое число при котором