10. Центральные и вписанные углы.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

На рисунке 22 угол — центральный угол окружности, его вершина О является центром данной окружности, а стороны пересекают окружность. Дуга является частью окружности, расположенной внутри центрального угла.

Градусная мера дуги на рисунке 22 равна градусной мере угла Градусная мера дуги обозначается

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. На рисунке 23 изображены вписанные углы.

Т. 1.6. Вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проведенными в эти точки, или дополняет эту половину до 180°.

При доказательстве теоремы 1. 5 необходимо рассмотреть три разных случая, которые изображены на рисунке 23: одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности (рис. 23, а); центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 23, б); центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 23, в).

Из теоремы 1. 5 вытекает следствие: все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны; вписанные углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, прямые.

На рисунке 24 стороны вписанного угла проходят через концы диаметра поэтому .

Пример. Точки А, Б и С лежат на окружности с центром О. Найти угол если .

Решение. Угол вписанный в окружность, опирается на дугу , а — центральный угол данной окружности (рис. 25). , значит, по теореме 1. 5, а так как угол центральный, то его градусная мера равна градусной мере дуги т. е. .