166. Радианная мера угла.

Рассмотрим окружность (рис. 174) с центром О и различные углы с вершиной в центре.

Рис. 174.

Такие углы (по отношению к окружности) называются центральными. Равным центральным углам одной и той же окружности отвечают и равные дуги, и наоборот. Действительно, при вращении вокруг центра 0 окружность «скользит» сама по себе, и когда, например, углы АОВ и COD (рис. 174) совместятся, то совместятся и дуги, на которые опираются указанные углы. Это позволяет перенести градусную меру углов на дуги и определить понятие дугового градуса, дуговой минуты и т. д., что, например, широко применяется в географии при определении географических координат точки земной поверхности (широта и долгота).

В п. 229 показывается, что длина С окружности пропорциональна ее радиусу и выражается через него по формуле , где вполне определенное (иррациональное) число, вычисленное довольно точно еще в древности, а теперь известное с несколькими тысячами десятичных знаков: .

Это значит, что если измерить радиус окружности тонким шнуром, а затем накладывать этот шнур на окружность, как на обод колеса, то шнур уместится на окружности обода раза. Та часть окружности, которая имеет длину, равную радиусу, т. е. та, которая покрывается нашим шнуром, наложенным один раз, будет дугой, отвечающей вполне определенному центральному углу, не зависящему от радиуса окружности. Этот угол принимается за единицу измерения углов в радианной мере и называется углом в один радиан.

Таким образом, углом в один радиан называется угол, соответствующий дуге окружности, имеющей длину, равную радиусу.

Так как вся окружность имеет длину то полный угол содержит радиана, и один градус составляет радиана. На долю одного радиана приходится, в свою очередь, Между градусной и радианной мерой углов имеется прямая пропорциональность, что позволяет легко производить переход от одной меры к другой. Так, пусть и а обозначают соответственно градусную и радианную меру одного и того же угла. Тогда и а будут относиться, как градусная и радианная меры развернутого угла, т. е. как 180° и :

откуда

Пример 1. Выразить в градусах, минутах и секундах угол . Выразить тот же угол в радианах.

Решение. Так как , то градусное выражение угла содержит

Ввиду того, что d соответствует радиан, находим

Пример 2. Выразить угол в радианах.

Решение. Имеем по формуле перехода (166.1)