3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О МНОГОМЕРНОМ НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИИ УИШАРТА

Теория многомерного дисперсионного анализа основывается на определенных свойствах многомерного нормального распределения и некоторых связанных с ним распределений. Для лучшего усвоения читателем материала последующих глав здесь без доказательств приводятся важнейшие сведения об этих распределениях. (Более подробно см., например, [4].)

3.1. ОДНОМЕРНОЕ И МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

(3.1) Определение. Одномерная, или скалярная, случайная величина у имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности выражается функцией

служат параметрами этого нормального распределения, которое кратко обозначается как

(3.2) Можно показать, что параметры совпадают с математическим ожиданием и дисперсией нормально распределенной случайной величины:

называют стандартным отклонений случайной величины у.

(3.3) Определение. Случайный вектор (или -мерная случайная величина) называется нормально распределенным, если он имеет плотность вероятности

-вектор и -матрица 2 служат параметрами этого распределения. Кратко обозначим его как Матрица — непременно положительно определенная и симметричная. В дальнейшем компоненты ьектора будут соответствовать признакам, измеряемым для отдельных индивидов.

(3.4) Доказывается, что служит вектором математических ожиданий, ковариационной матрицей случайного вектора у:

Величины

являются коэффициентами корреляции между двумя признаками

(3.5) Выражение для функции плотности в пункте (3.3) позволяет заключить, что множества уровня плотности в -мерном пространстве образуют эллипсоиды, заданные уравнением

Эти эллипсоиды называют эллипсоидами концентрации (контурными эллипсоидами). Они представляют собой обобщение границ и интервала концентрации одномерной нормально распределенной случайной величины.

(3.6) Если у имеет -распределение, есть матрица ранга и, то -мерная случайная величина

имеет нормальное распределение

(3.7) Если -мерная случайная величина у обладает таким свойством, что скалярная случайная величина при любом фиксированном ненулевом векторе и имеет -распределение, причем -вектор, положительно определенная симметричная -матрица, то у имеет -распределение.