7.10. УКРУПНЕННАЯ БЛОК-СХЕМА РЕАЛИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

На рис. 8 (с. 148) представлены важнейшие этапы многомерного дисперсионного и дискриминантного анализов в случае однофакторной классификации. Приведенная блок-схема может иметь множества модификаций. В зависимости от конкретной постановки задачи некоторые шаги позволяется опустить. Для проверки одной лишь гипотезы о равенстве векторов средних значений с помощью многомерного критерия значимости допустимо отказаться от определения неэлементарных дискриминантных функций. Кто не указывает значения для числа используемых признаков, тот не проводит сокращения множества признаков и т. д.

7.11. КАЧЕСТВЕННЫЕ ВЫВОДЫ ОБ ОТДЕЛЬНЫХ ПРИЗНАКАХ И МНОЖЕСТВАХ ПРИЗНАКОВ

До сих пор мы излагали точные количественные методы анализа многомерных наблюдений. Но из-за сложности явления получаемые при этом результаты не всегда легко интерпретировать. Может возникнуть желание глубже разобраться в связях признаков. В большинстве случаев практически не удается убедительно объяснить, почему при уменьшении числа признаков именно эти признаки были исключены, а другие оставлены. Желательно получить дополнительные сведения о связях признаков, их взаимозаменяемости и тождественности. Этому вопросу и посвящен данный раздел.

7.11.1. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОМЕРНОГО ДИСТАНТА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ДИСКРИМИНАНТНЫМ ПРИЗНАКАМ

Принцип разложения на компоненты

Согласно (7.47), (7.58), (7.59) и (7.69) получаем

Итак, матрицу представляющую разности средних значений по группам, можно разложить на компоненты

соответствующие неэлементарным дискриминантным признакам:

Благодаря этому появляется возможность разложить на компоненты многомерный дистант совокупности всех признаков, а также дистант по любому подмножеству этих признаков. Для составляющих дистанта всех признаков

согласно (7.11) и (7.49) имеем

Подставляя в (7.106) соответствующие подматрицы получим компоненты по ограниченному подмножеству признаков. Так, например, для отдельного признака компонентами дистанта являются величины

где элемент матрицы диагональный элемент матрицы Следует упомянуть, что по (7.56)

Из (7.105) для дистанта по любому подмножеству признаков следует выражение

Показатели необходимости также разлагаются на составляющие. По (7.39), (7.58), (7.59) и (7.69) получаем, что

Отсюда по (7.81) следует, что

Здесь весовые коэффициенты неэлементарных дискриминантных функций.

Вращение в дискриминантном пространстве

Представления (7.103) родственны соотношениям

или

из (7.69). Из равенства (7.113) следует, что центры групп в исходном пространстве получаются из центров в пространстве дискриминантных признаков за счет умножения на Если к дискриминантным признакам применить ортогональное преобразование то вместо появляется новая матрица В соответствии с этим

Аналогично в равенстве (7.103) можно перейти к новому базису дискриминантного пространства. Обозначим через отдельные столбцы ортогональной матрицы так что

В результате получаем, что

Это дает разложение на компоненты матрицы относящееся к произвольному ортогональному базису в дискриминантном пространстве. Таким образом, для каждого данного ортогонального базиса получаем соответствующее аддитивное разложение дистанта на компоненты

Мера расстояния

Теперь можно перейти к качественной оценке множества признаков. Два множества признаков считают подобными, если они имеют при всех ортогональных базисах дискриминантного пространства одинаковые или мало различающиеся компоненты .

Ради более точного определения сходства введем расстояния между двумя множествами признаков

где максимум берем по всевозможным ортонормированным базисам дискриминантного пространства.

Величины представляют собой квадратные корни из Благодаря расстоянию множество всех наборов признаков превращается в метрическое пространство. Конечно, численное определение при двух любых множествах немного проблематично.

Векторная диаграмма представления отдельных признаков

Рассмотрим частный случай, когда совокупности состоят из единственного признака. В этом случае каждому отдельному признаку соответствует, -мерный вектор В базисе вектор имеет координаты

В другом ортонормированном базисе, получающемся путем преобразования вектор имеет координаты

Длина равна квадратному корню из соответствующего дистанта угол между двумя векторами выражает различные качества признаков.

Продолжая наши рассуждения, можно показать, что расстояние между двумя отдельными признаками равно:

Отсюда можно непосредственно заключить, что расстояние это длина вектор-разности если векторы образуют острый угол (чтобы использовать это определение, иногда приходится знак одного из признаков изменять на противоположный).

Следует заметить, что качественные суждения о признаках, которые дает этот метод, сильно ограничиваются размерностью дискриминантного пространства. При двух группах каждые из двух векторов кратны один относительно другого. При трех группах все векторы лежат в двумерном пространстде, и

Приведенные здесь соображения в значительной степени сходны с концепциями факторного анализа.

Пример. (Доктор Е. Рихтер-Хайнрих. Центральный институт сердечно-сосудистых заболеваний и регулирования кровообращения Академии наук

Рассматриваются -мерные векторы наблюдений, каждый из которых относится к одному индивиду. Во время психофизиологических обследований испытуемый в семь последовательных промежутков времени находился в состояниях: 0) покой, готовность, устный счет; 3) покой, II; 4) готовность, II; 5) образование предложений; 6) покой, III.

Рис. 9. Векторная диаграмма 28 признаков при психофизиологическом обследовании. Обозначение признаков: систолическое кровяное давление; диастолическое кровяное давление; частота сердечных сокращений; кожные потенциалы

В каждый из этих промежутков времени измерялись 4 величины: 5 (систолическое кровяное давление), (диастолическое кровяное давление), (частота сокращений сердечной мышцы) и (кожный потенциал).

Вектор наблюдений размерностью 28 для одного индивида записывается в форме Цель исследования — диагностика гипертонии. Данные о ста пациентах, обработанные статистическими методами, оказались разделенными на 3 группы:

группа 1: 30 здоровых индивидов;

группа 2: 40 больных гипертонией, степень тяжести I; группа 3: 30 больных гипертонией, степень тяжести II.

Мы не будем здесь вдаваться в подробности расчетов многомерного критерия значимости и описания классификации (см. [69] и [44]), а обсудим только вопрос качественной оценки признаков. Векторная диаграмма, отображающая сходство между 28 признаками, представлена на рис. 9.

На рисунке 7 признаков (систолическое давление), а также 7 признаков (диастолическое давление) и 7 признаков (частота сердечных сокращений) очень схожи. Признак (кожный потенциал покоя I) обладает по сравнению с частотой сердечных сокращений более сильным разделительным свойством, хотя и сходен с ним по направлению вектора (кожный потенциал) образуют еще одну группу признаков, по своему разделительному свойству немного отличается от остальных.

Рис. 10. (см. скан) Схема поведения 28 признаков при психофизиологическом обследовании

Два признака, (кожный потенциал в двух состояниях нагрузки) направлены противоположно дискриминантному признаку Если рассматривать только направление векторов, а не их длину, то можно заметить определенное сходство Для

этого достаточно поменять знаки или, что то же самое, повернуть эти векторы на 180°.

Отдельным направлениям векторов на диаграмме соответствуют образцы поведения признаков на рис. 10. Систолическое давление характеризуется сильным наклоном группы 1 к группе 2 и группы 2 к группе 3. Для диастолического давления различие между группами относительно мало, то же самое можно сказать и о признаке Частота сердечных сокращений сильно увеличивается при переходе от группы 1 к группе 3 и почти не меняется при переходе от группы 2 к группе 3. Поведение признака представляет собой зеркальное отражение изменений в поведении частоты сердечных сокращений. Кожные потенциалы ведут себя монотонно. Эта интерпретация убеждает, что разложение дистанта на компоненты дает разумные результаты.

7.11.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АФФИННОГО КОЭФФИЦИЕНТА

Другое объяснение диагностическому сходству, отдельных признаков и их совокупностей можно дать с помощью аффинного коэффициента (7.33). Два множества признаков по своему диагностическому содержанию тем больше схожи, чем меньше их аффинный коэффициент а. Чтобы узнать, какие признаки схожи, а какие, напротив, различны, проводят кластерный анализ всей совокупности признаков. При этом возникают кластеры схожих признаков.

Процедура заключается в следующем: вначале каждый из признаков считается отдельным кластером. Затем для каждых двух кластеров, т. е. для каждых двух отдельных признаков, вычисляется аффинный коэффициент а. Два кластера, соответствующие наименьшему значению а, объединяются в один. Тем самым число кластеров уменьшается до Далее для всех пар кластеров опять вычисляют аффинные коэффициенты а и объединяют кластеры с наименьшим а. Процедура продолжается. Число кластеров на каждом шаге уменьшается на 1. И так, пока все признаки не объединяются в один кластер. Среди всех промежуточных результатов выделяют хорошо интерпретируемые. Процедуру по желанию можно прервать на определенном шаге. Наш опыт свидетельствует, что процедуру можно закончить после того, как все аффинные коэффициенты станут меньше 0,75.

Пример. Для данных по гипертонии из раздела 7.11.1 изложенным выше методом получаем следующие кластеры (процедура объединения кластеров была прекращена при

Далее наследующем шаге объединяются в один кластер признаки Это означает, что кожные потенциалы в состоянии покоя и готовности близки один к другому.

Если сравнить полученные нами сейчас результаты с результатами из раздела 7.11.1, то увидим практически полное совпадение. Отдельные незначительные отклонения в результатах обоих методов (например, на векторной диаграмме (кожный потенциал расположен ближе к частотам сердечных сокращений чем к кожным потенциалам здесь свидетельствуют лишь о том, что кластерный анализ на основе аффинного коэффициента лучше улавливает содержание признаков. Следовательно, в данном случае кластерный анализ полнее отражает многомерность статистического материала, чем векторная диаграмма (рис. 9). С другой стороны, преимущество векторной диаграммы в ее наглядности, так как она позволяет увидеть свойства признаков и тем самым помогает интерпретировать результаты.