7. МНОГОМЕРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ И ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗЫ В СЛУЧАЕ ОДНОФАКТОРНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ (J СОВОКУПНОСТЕЙ)

7.1. ВВЕДЕНИЕ

В главе 6 обсуждался критерий сравнения векторов средних значений двух многомерных нормально распределенных генеральных совокупностей. Данная глава посвящена сравнению средних значений нескольких совокупностей. В ней мы рассмотрим проблемы многомерного дисперсионного анализа. Подчеркнем, что предпочтенная нами статистика F распределена по закону уже не точно, как в главе 6, а лишь приближенно.

При статистическом анализе будем исходить из нескольких определенных совокупностей (групп) индивидов. Например, можно рассматривать совокупности людей, животных или растений, совокупности станков, сооружений, транспортных средств, совокупности производимых товаров или совокупности промышленных предприятий. На практике классификация (разделение на группы) выполняется на основании предварительной информации об индивидах, с учетом различных условий, действовавших на них, или определенных свойств, характерных для индивида. Например, люди могут быть разделены на группы по социальному происхождению, уровню образования, роду профессиональной деятельности, по конституциональному типу или по видам заболеваний; сельскохозяйственные животные — по способам откармливания; подопытные животные — по условиям производимых над ними экспериментов; лекарственные растения — по окраске лепестков; сигареты — по сортам; кинескопы — по классу качества, по предприятиям-изготовителям

и месту установки телевизора — в крупном или небольшом городе или в сельской местности.

Как и ранее, каждый индивид будет характеризоваться рядом из измеренных значений, соответствующих определенным признакам. Многомерный дисперсионный анализ должен объяснить связи между классификацией индивидов и значениями их признаков. Так, применительно к медицинским исследованиям важно решить, следует ли изучать воздействия заболевания на измеряемые признаки или, напротив, получать информацию о заболевании из значений признака, присущего организму. На примере с кинескопами можно показать, насколько отдельные трубки различаются по качеству в зависимости от времени изготовления и как по дате изготовления предсказать качество или срок службы кинескопа.

Пример. (Доктор X. Декарт. Городская радиологическая клиника, Берлин.)

Больные гипертиреозом (увеличение щитовидной железы) общим числом 23 человека были разделены на три группы.

Группа 1. Лечение оказалось успешным; проведенное через большой промежуток времени клиническое обследование показало, что пациент здоров.

Группа 2. Лечение безуспешно, т. е. состояние больного осталось без изменения.

Группа 3. Исход лечения успешен, но в дальнейшем возможен рецидив.

По результатам обследования 23 пациентов имеются 10 измерений Первые пять измерений относятся к тесту на радиоактивный проводившемуся в начале лечения, вторые пять измерений к такому же тесту, проводившемуся во время курса медикаментозного лечения. Ниже дано содержательное описание каждого признака:

регистрируемый через 3 часа после принятия испытательной дозы;

регистрируемый через 6 часов после принятия испытательной дозы;

регистрируемый через 24 часа после принятия испытательной дозы;

регистрируемый через 48 часов после принятия испытательной дозы;

содержание в крови белковосвязанного йода через 48 часов.

Конкретные результаты приведены в табл. 4.

С помощью многомерного дисперсионного и дискриминантного анализов надо выяснить, какие связи существуют между разделением пациентов на группы и 10 измеренными признаками. Уже на ранней стадии лечения пациента удается установить, помогают терапевтические средства или нет.

Мы неоднократно будем обращаться к этому примеру в последующих разделах. В данной главе рассмотрим групп индивидов. Векторы наблюдений размерности относящиеся к группе должны иметь нормальное распределение где вектор средних значений группы и — ковариационная матрица, одинаковая для всех групп. Векторы и матрица 2 считаются неизвестными.

Предполагается, что для каждой группы указана выборка -мерных векторов наблюдений, т. е. для каждой группы должна существовать выборка соответственно из векторов наблюдений. Отдельные векторы наблюдений группы обозначаются так:

Таблица наблюдений тогда принимает вид: Группа 1:

Группа 2:

Группа 3:

В разделе 6.2.2 был приведен количественный вывод о «расстоянии» между двумя статистическими совокупностями. Многомерный дисперсионный и дискриминантный анализы, обсуждаемые в данной главе, в случае более чем двух совокупностей дают не только расстояние между каждыми двумя совокупностями, но сверх того указывают взаимное расположение всех совокупностей. Наряду с критериями значимости получаем данные о структуре многомерных измерений. Названные методы существенно способствуют систематизации многомерных наблюдений и помогают исследователю-практику выдвигать научные гипотезы и разрабатывать теории.

Сейчас мы обсуждаем лишь однофакторную классификацию индивидов. Это означает, что индивиды разделяются на группы с учетом влияния одного-единственного фактора. Например, люди

классифицируются только по семейному положению (холост, женат, вдов, разведен) или только по полу (мужской, женский), но не по двум факторам одновременно. Многофакторная классификация обсуждается в следующей главе.