8.3.2. МНОЖЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ ПРИ ДВУХФАКТОРНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

Общая формула (8.73), касающаяся двухфаторной классификации без взаимодействия, показывает, что матрица плана X и ее базисная подматрица имеют большое значение для множественных сравнений. Соответствующие матрицы гипотез непосредственно получаются из явной формы гипотез о главных эффектах.

Если ввести -векторы 1 и 0, состоящие соответственно сплошь из единиц или нулей, то матрице плана X при двухфакторной классификации можно дать следующее выражение:

При этом -матрица ранга где Вектор 1 размером возникает за счет наблюдений в клетке. При проверке гипотезы об эффектах строк базисную матрицу образуют первые стоблцов матрицы а для гипотезы базисную матрицу получают, например, из последних столбцов В любом случае уже больше не диагональная матрица, как при однофакторной классификации. Обратную матрицу находят по формуле (2.78). При желании более подробный вывод читатель может получить самостоятельно, например для случая

Так же как и в случае однофакторной классификации (формула (8.74)), получим совместные доверительные интервалы (с коэффициентом доверия 1 - а) Для линейных комбинаций разностей эффектов строк или столбцов При построений совместных доверительных интервалов для эффектов строк (в отличие от случая однофакторной классификации) в качестве множителя при в выражении под корнем вместо величины стоит величина ; при построении интервалов для эффектов столбцов используют величину Здесь число всех наблюдений в строке, число всех наблюдений в столбце. Таким образом, для любого ненулевого вектора и для эффектов строк получаем совместные доверительные интервалы:

Аналогично выглядят совместные доверительные интервалы для эффектов столбцов:

Для эффектов строк критическое значение имеют параметры:

для эффектов столбцов заменяют на

Путем выбора вектора месте элемента с номером стоит единица) получаем одновременные доверительные интервалы для разностей компонент эффектов строк или столбцов.

Пример. Рассмотрим числовой пример (модель (8.70)), для которого можно принять чисто аддитивную модель, поскольку по данным этого примера гипотезу об отсутствии взаимодействия отвергнуть нельзя. Благодаря этому множественное сравнение эффектов строк и столбцов приобретает особую наглядность. При отклонении гипотезы Нов встает вопрос о том, какие различия в средних привесах вызывает различие в способах откорма.

Имеем

Для первого признака выбираем Тогда Отсюда получаем Совместные доверительные интервалы для разностей эффектов, первый признак:

Итак, с вероятностью не менее 0,95 заключаем, что в первый период откорма животных второй и третий способы откорма оказывают на средний привес влияние, значимо отличающееся от влияния первого способа.

Читатель сам может продолжить вычисления и убедиться, что во втором периоде эти уровни уже различны незначимо.