6.1.2. ГИПОТЕЗА О ВЕКТОРЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ

Рассмотрим вначале критерий для проверки гипотезы а потом перейдем к общему случаю, когда проверяется гипотеза Пусть имеется в распоряжении векторов наблюдений Линейная модель записывается в виде

Гипотеза заключается в следующем:

В гл. 4 указывались два пути построения статистических критериев.

Первый — использование общей теории проверки линейных статистических гипотез (см. раздел 4.2); мы не станем его рассматривать ни здесь, ни в последующих разделах, где обсуждается практическое применение дисперсионного анализа, так как он зачастую требует сложных матричных вычислений.

Метод, которым мы воспользуемся для построения многомерной статистики, исходит из одномерного критерия как частного случая многомерного при . Предположим, что этот одномерный критерий известен. В данном случае речь пойдет об обычном критерии, в основе которого лежит -статистика:

или -статистика, представляющая собой квадрат выражения -статистики:

Переход от одномерного к многомерному критерию (см. раздел 4.5) происходит за счет замены в числителе и знаменателе (6.5) величин

имеющих -распределение, на матрицы

и

Вместо скалярных случайных величин с -распределением в формулах (6.6) и (6.7) появляются соответствующие им -мерные случайные векторы и вместо квадратов линейных комбинаций скалярных значений следует подставить соответствующие произведения матриц

В качестве статистики критерия в соответствии с разделом 4.4 возьмем

В примерах, обсуждаемых в данной главе, В этом случае статистика при справедливости гипотезы имеет в точности -распределение со степенями свободы

В общем же случае эта статистика лишь приближенно распределена по закону В результате выдвинутая гипотеза отвергается на уровне значимости а, если Здесь — квантиль -распределения (см. таблицу приложения).

При проверке гипотезы в качестве статистики получаем величину

со степенями свободы Легко перейти к общей гипотезе

Соответствующая статистика получается из (6.10) за счет небольшой поправки:

Выражения для чисел степеней свободы те же, что были приведены выше: Матрица определяется независимо от из уравнения (6.2) или (6.7).

Пример. С помощью данных из раздела 6.1.1 проверим, равен ли истинный средний вес новорожденных и истинный средний рост 50 см, т. е. проверим гипотезу

По формуле (6.11) получим

Так как выдвинутая гипотеза отвергается.