4.3. О СВОЙСТВАХ КРИТЕРИЕВ ...

Здесь мы кратко остановимся на теоретических исследованиях, касающихся распределения статистик критериев, не претендуя при этом на полноту обзора, но пытаясь прокомментировать важнейшие результаты, и прежде всего ряд нерешенных теоретических проблем. Несмотря на недостаток знаний о распределении статистик, читатель не должен делать опрометчивого вывода об ограниченности возможности применения многомерного дисперсионного анализа. Есть достаточно хорошие аппроксимации распределений статистик, например -аппроксимация, на которую можно ориентироваться в практической работе.

Теоретически подготовленному читателю этот раздел послужит кратким обзором для более глубокого рассмотрения проблемы распределений.

Изучая свойства критериев, исходят из канонической формы линейной модели и гипотезы. Каноническая форма — частный случай общей модели, представленной в разделах 4.2.1 и 4.2.2. Она

сконструирована так, что с ее помощью могут быть решены все основные математические проблемы многомерных критериев значимости. Перенесение результатов на общий случай осуществляется с помощью преобразований, детально разработанных С. Н. Роем [74].

При переходе к канонической форме матрица плана X размерностью и матрица гипотезы К представляются в следующем виде:

Матрицу наблюдений разбивают на три подматрицы с числом столбцов, соответственно равным а матрицу параметров В — на две подматрицы число строк которых равно После такого разделения матриц уравнение модели и основная гипотеза принимают вид

Запишем с учетом (4.38), (4.39) и (4.10), (4.11) каноническую форму матриц

Три статистики критерия, обсуждаемые в 4.2.4, являются функциями собственных корней уравнения

При этом только корней отличны от нуля.

Совместная плотность распределения матриц с учетом (4.62) и [74] равна:

где

В некоторых частных случаях эти формулы упрощаются. А именно при и

или

(4.65) и (4.66) приобретают вид

где

Выбранный здесь вид можно получить с помощью определенных преобразований исходя из канонической модели, представленной соотношениями (4.62) и (4.63).

Справедливость нулевой гипотезы равносильна

Формулы (4.67), однако, еще не содержат в явном виде распределения характеристических корней при нулевой гипотезе.

Нулевое распределение этих характеристических корней независимо друг от друга и одновременно было найдено Р. А. Фишером [173, М. А. Гиршиком [20], П. П. Хсу [26] и С. Н. Роем [70], [71].

Вывод основывается на предположении, что матрицы имеют распределение Уишарта и стохастически взаимно независимы при дополнительном требовании (С вероятностью 1 обе матрицы невырождены.)

О том, что при справедливости нулевой гипотезы должны иметь распределение Уишарта и должны быть взаимно независимы, уже говорилось в разделе 4.2.4. Этот вывод также непосредственно следует из (4.62) и (4.64).

При таких предпосылках получают выражение для плотности распределения характеристических корней уравнения

При этом

где

Условие не ограничивает общности. Как показал Андерсон [4], распределение для случая получается из распределения (4.69) путем замены параметров на же самую замену следует произвести и в (4.70).

Вот как выглядят критические области этих критериев на уровне значимости а:

При этом критические значения определяются равенствами

Из (4.75) следует, что для использования критерия (на заданном уровне значимости а) нужно найти распределение соответствующей статистики при справедливости гипотезы Казалось бы, принципиально возможно из нулевого распределения (4.69) характеристических корней вывести и распределение статистик и Например, для это просто одно из маргинальных распределений. Однако такой путь чрезвычайно труден. Распределения этих статистик как при гипотезе, так и при альтернативах в явном виде получены лишь для некоторых частных комбинаций параметров Поэтому имеющиеся к настоящему времени таблицы критических значений не являются исчерпывающими. В связи с этим при практическом использовании критериев часто указываются более или менее удовлетворительные приближения для нулевых распределений

Ниже мы даем краткий обзор свойств критериев при справедливости нулевой гипотезы (см. также [66], [28]).