8.2. ДВУХФАКТОРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ, m ВЕКТОРОВ НАБЛЮДЕНИЙ В ЯЧЕЙКЕ

В отличие от двухфакторной классификации, изложенной в разделе 8.1, в данном плане эксперимента в каждой ячейке расположено одинаковое число векторов наблюдений представляющих собой результаты измерений признаков. В модельном уравнении следует заранее учесть эффект взаимодействия, который может возникнуть при комбинации уровня фактора уровня фактора В. Эффект взаимодействия возможен также при но лишь при его можно исследовать. Если в одномерном случае исходить из модели

причем «истинное» среднее наблюдений в ячейке плана и для всех то каждое им допускает оценку и, следовательно, допускает оценку любая линейная функция от

Модели этого вида всегда имеют полный ранг. Не существует неясностей относительно того, какие функции от оцениваемы и какие гипотезы проверяемы. Например, интересны и оцениваемы следующие линейные контрасты:

Связанные с ними линейные гипотезы проверяемы:

В дисперсионном анализе широко распространена модель, учитывающая в явном виде главные эффекты отдельных факторов и эффекты их взаимодействия:

Модель переопределена, т.е. содержит больше независимых параметров, чем их может быть оценено.

Следовательно, не обойтись без дальнейших ограничений, которые требуются для идентификации параметров. Эти ограничения вытекают из следующих соображений.

Пусть при двухфакторной классификации фактор А имеет уровней, а фактор уровней. Тогда — среднее уровня фактора - среднее уровня фактора 5. Генеральная (общая) среднее определяется как

Главными эффектами соответственно называют отклонения средних соответственно от генеральной средней

Отсюда непосредственно следует, что

Эффектом взаимодействия уровня уровнем В называют

Отсюда следует, что

соответственно

а также, что

и

Применяя модель (8.33) с уровнями (8.35), (8.37) и (8.38), из (8.27) — (8.29) получим оценки контрастов

С учетом условий (8.35), (8.37) и (8,38) нулевые гипотезы (8.30) — (8.32) приобретают вид

Модель (8.26) вместе с гипотезами (8.30)-(8.32) имеет то достоинство, что ее можно рассматривать как частный случай общей линейной модели раздела 4.1.

Модель (8.33) с дополнительными условиями (8.35), (8.37) и (8.38) и гипотезами (8.39)-(8.41) имеет такую форму, что ее нельзя считать частным случаем общей линейной модели. Тем не менее модели эквивалентны одна другой. Такая взаимосвязь моделей сохраняется и в многомерном случае, для где главные эффекты и эффекты взаимодействия становятся векторами

Одномерный случай: Модельное уравнение имеет вид

а

При этом должны соблюдаться условия:

Таблица одномерного дисперсионного анализа

(см. скан)

несмещенная оценка дисперсии ошибки

Многомерный случай: Модельное уравнение для вектора наблюдений в ячейке

Для -векторов должны выполняться следующие условия:

для всех для всех . О векторах ошибок предполагаем, что для всех

Надо проверить следующие нулевые гипотезы:

Для этого необходимы матрицы

Выражения для величин получаем, подставляя в (8.45) вместо -векторы

Критериальные статистики для поверки гипотез (8.47) имеют вид

Матрица по-прежнему несмещенная оценка ковариационной матрицы 2. Имеем

с учетом этих выражений получаем следующие критериальные статистики для проверки гипотез (8.47):

Гипотеза Согласно таблице По (8.52) и (8.55) и согласно разделу 4.4 получаем, что статистика

имеет приближенно -распределение со степенями свободы где

Гипотеза на заданном уровне значимости а отвергается, если

Гипотеза Из таблицы (8.44) следует, что По (8.53) и (8.56) и согласно разделу 4.4 статистика

имеет приближенно -распределение со степенями свободы где

Гипотеза на заданном уровне значимости а отвергается, если

Гипотеза По таблице По (8.54) и (8.57) и согласно разделу 4.4 статистика

имеет приближенно -распределение со степенями свободы где

Гипотеза отвергается на заданном уровне значимости а, если

Для исследования влияния трех и более факторов и их взаимодействий при одинаковой заполненности ячеек соответствующие многомерные

критериальные статистики также легко выводятся из соответствующего одномерного варианта согласно изложенной выше методике.

Пример. Рассмотрим двухфакторную классификацию с векторами наблюдений размерности в каждой ячейке. Основные этапы многомерного двухфакторного дисперсионного анализа для наглядности покажем на простом числовом примере.

Пусть исследуются пород сельскохозяйственных животных (фактор А имеет 3 уровня) одного пола и одинакового возраста. В момент опыта животные должны находиться в одинаковых условиях. Каждой породе дают корм различного состава (фактор В имеет 3 уровня). Измеряются признака, а именно увеличение веса (привес) за два последовательных периода времени. Итак, размерность вектора наблюдений составляет очевидно, привесы в течение следующих друг за другом периодов являются коррелированными признаками. По каждой породе и каждому способу откорма число наблюдений 4). Последующая обработка данных требует выполнения некоторых предпосылок.

Вектор привесов за два последовательных периода роста животных имеет двумерное нормальное распределение с вектором средних значений и ковариационной матрицей общей для всех комбинаций пород и способов откорма.

Используется модель

где генеральная средняя (вектор средних значений привеса); эффекты, вызванные уровнями фактора — порода животных; эффекты уровней фактора — способ откорма; эффект взаимодействия факторов — породы животных и способа откорма; вектор ошибки, являющийся результатом неконтролируемых случайных влияний, с распределением

При соблюдении перечисленных здесь предпосылок нужно ответить на следующие вопросы:

1. Оказывают ли влияние на средний привес эффекты, обусловленные различием пород?

Ответ на этот вопрос дают результаты проверки гипотезы

2. Оказывают ли влияние на средний привес эффекты, обусловленные различием способов откорма?

Для ответа на этот вопрос следует проверить гипотезу:

3. Существуют ли взаимодействия между породами и способами откорма, которые способствуют увеличению привеса или, наоборот, вызывают его уменьшение?

Для ответа на этот вопрос следует проверить гипотезу:

План эксперимента имеет вид

Результаты эксперимента представим в виде векторов наблюдений в каждой ячейке (двумерные векторы строк):

Так как в примере речь идет о векторах размерности то целесообразно матрицы На, определять по обращать матрицу и затем в соответствии с данной нулевой гипотезой находить не применяя преобразований, содержащихся в формулах Симметричность матриц позволяет, кроме того, сделать некоторые упрощения.

Так, имеем

Оценка матрицы 2:

Получаем

Сначала проверяем гипотезу чтобы выяснить, имеется ли эффект взаимодействия или модель является чисто аддитивной.

Все гипотезы проверяем на уровне значимости Степени свободы Гипотеза

По (8.59) и (8.60) получаем степени свободы Итак,

и

т.е. гипотеза не отвергается; хотя это не доказательство отсутствия взаимодействия эффектов, мы можем использовать чисто аддитивную модель.

Гипотеза

Степени свободы и вычислим по формулам (8.63) и (8.64): При

Так как гипотеза не отвергается.

Гипотеза

В связи с тем, что имеем При

Поскольку гипотеза отвергается.

На основе данного числового материала мы можем сделать заключение о том, что на привес в первую очередь влияет способ откорма.

Далее на этом примере мы продемонстрируем использование критерия наибольшего характеристического корня и применение номограмм Хека (см. [35]).

С помощью номограмм получаем верхние процентные точки нулевого распределения статистики

где в разделе 4.3.3) — наибольший характеристический корень уравнения или уравнения Между корнями данных уравнений и рассмотренных ранее характеристических уравнений существуют следующие соотношения:

Теперь рассмотрим номограммы Хека. Значения параметров:

Они соответствуют параметрам из гл. 4 Критическая область для

Проверим отдельные гипотезы.

находим из уравнения Характеристический полином имеет порядок 2:

Далее По номограмме для получаем

Так как то на основе данного числового материала гипотеза о том, что взаимодействие отсутствует, не отвергается. Итак, мы можем принять чисто аддитивную модель влияния факторов.

находим решая уравнение т. е.

Отсюда соответственно

Из номограммы для получаем

Так как то на основе данного числового материала гипотеза не отвергается.

находим решая уравнение т. е.

Отсюда соответственно ;

Из номограммы получаем

Так как то гипотезу о равенстве воздействия различных видов кормов на средний привес приходится отвергнуть.

После этого нужно определить, какие способы откорма и как влияют на средний вес, т.е. возникает вопрос о множественном сравнении (в многомерном случае).