2.3. СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ

(2.34) Определение. Квадратная матрица А называется симметричной, если

(2.35) Ранг симметричной матрицы А равен наивысшему из порядков не равных нулю главных миноров. Главным минором называется такой минор матрицы А, в котором номера выбранных столбцов и строк совпадают.

Проблема собственных значений

(2.36) Для любой симметричной матрицы А порядка существует ортогональная матрица С, такая, что

где

— диагональная матрица с действительными элементами, причем

(приведение к главным осям).

(2.37) Для любой симметричной матрицы А матрица однозначно определяется условием (2.36). Числа будут решениями характеристического уравнения

Левая часть этого уравнения — многочлен степени от переменной так называемый характеристический многочлен. Величины обычно называют характеристическими корнями, или собственными значениями (числами) матрицы А.

(2.38) Каждому характеристическому корню симметричной -матрищ соответствует характеристический или собственный -вектор, вектор для которого

Если то характеристические векторы взаимно ортогональны:

Поиск решения уравнения при заданной А обычно называется проблемой собственных значений.

(2.39) Для произвольной симметричной матрицы А характеристические векторы соответствующие характеристическим корням можно выбрать так, чтобы

В случае, когда все характеристические корни различны, соответствующие им характеристические векторы определяются условиями, сформулированными в (2.38), однозначно с точностью до выбора направления.

(2.40) Количество характеристических корней матрицы А, отличных от нуля, равно рангу А.

(2.41) Для симметричной матрицы А имеют место равенства:

(2.42) Если наименьший, а — наибольший характеристические корни симметричной матрицы прямоугольная матрица, то

(2.43) Если характеристические корни симметричной матрицы А порядка скалярный полином, то характеристические корни симметричной матрицы

Положительно определенные симметричные матрицы

(2.44) Определение. Симметричная матрица А называется положительно определенной, если все ее главные миноры положительны. Матрица называется положительно полуопределенной, если все ее главные миноры неотрицательны.

(2.45) Симметричная матрица А порядка положительно определена тогда и только тогда, когда положительны ее главные миноры

(2.46) Симметричная матрица А положительно определена тогда и только тогда, когда квадратичная форма

положительна для любого вектора х, отличного от нулевого. Матрица А положительно полуопределена, если для любого вектора х

(2.47) Симметричная матрица А положительно определена в том и только в том случае, если все ее характеристические корни положительны, а положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все неотрицательны.

(2.48) Сумма двух положительно полуопределенных матриц является положительно полуопределенной матрицей. Если одно из этих слагаемых есть положительно определенная матрица, то сумма также окажется положительно определенной матрицей.

(2.49) Если А — положительно определенная матрица, то

Если А — положительно полуопределенная матрица, то

(2.50) Если А — положительно полуопределенная матрица, причем

то А — нулевая матрица.

(2.51) Если две положительно полуопределенные -матрицы, то

(2.52) Если А — положительно определенная, положительно полуопределенная матрицы, причем

то В — нулевая матрица.

(2.53) Если положительно определенные матрицы, а их разность положительно полуопределенная матрица, то разность обратных матриц будет положительно полуопредёленной матрицей.

(2.54) Если В — положительно определенная симметричная матрица, прямоугольная матрица, то симметричная и положительно полуопределенная матрица, причем

(2.55) Для всякой положительно полуопределенной симметричной матрицы существует однозначно определенный квадратный корень, т. е. такая положительно полуопределенная симметричная матрица что

(2.56) Если симметричная и положительно определенная, ортогональная матрицы, то

Равенство выполняется только в том случае, если С — единичная матрица.

(2.57) Среди всех -матриц X, которые являются решениями уравнения

причем А — симметричная и положительно определенная матрица, у матрицы наибольший след. Для решения X имеет место соотношение

тогда и только тогда, когда

Проблема собственных значений ...

(2.58) Для любых двух симметричных -матриц причем В — положительно определенная, существует -матрица С, для которой

Здесь А — диагональная матрица с действительными элементами; ее диагональные элементы расположены в порядке убывания:

(2.59). Для произвольных заданных матриц матрица А однозначно определена условиями (2.58). Числа могутбыть также получены как решения характеристического уравнения

Величины называются характеристическими корнями, или собственными значениями (числами) матриц

(2.60) Каждому характеристическому корню двух матриц обладающих свойствами (2.58), соответствует характеристический вектор, т. е. вектор для которого

Если

Нахождение решений уравнения при заданных матрицах обычно называется проблемой собственных значений.

(2.61) Для произвольных матриц обладающих свойствами (2.58), характеристические векторы соответствующие характеристическим корням этих матриц, можно выбрать так, чтобы

В последующих статистических применениях мы будем считать, что характеристические векторы удовлетворяют условию ортонормированности, не оговаривая этого каждый раз. Если все характеристические корни различны, то характеристические векторы однозначно определяются условиями (2.60), с точностью до выбора направления.

(2.62) Из условий (2.58) следует:

(2.63) Если симметричные и положительно определенные матрицы, то все их характеристические корни определяемые как решения управления положительны. Если же А лишь положительно полуопределена, то

(2.64) Решения уравнений

и

где положительно определенные, произвольная матрицы, являются совпадающими множествами отличных от (с учетом их краткости) характеристических корней. По собственным векторам второго уравнения можно найти собственные векторы первого уравнения благодаря соотношению

(2.65) Отличные от нуля решения задач о собственных значениях

и

где положительно определенные, произвольная матрицы, связаны между собой соотношениями

Для соответствующих характеристических векторов действует равенство

(2.66) Из условий (2.58) для следует, что

если максимум рассматривается на множестве векторов удовлетворяющих условиям

Здесь характеристические векторы матриц Максимум достигается при х, удовлетворяющих уравнению

(2.66а) Пусть две симметричные положительно полуопределенные матрицы порядка причем если такая симметричная положительно полуопределенная матрица порядка , что и

Тогда В -невырожденная матрица. Если обозначить через отличные от нуля характеристические корни, являющиеся решениями уравнения а через соответствующие характеристические векторы, то для имеет место соотношение

если максимум рассматривается на множестве векторов х, для которых Характеристические корни и векторы не зависят от выбранной матрицы С.

(2.67) Пусть X — произвольная -матрица ранга а для матриц выполняются условия (2.58). В таком случае где характеристические корни уравнения характеристические корни уравнения

(2.68) Если условия (2.58) выполняются как для так и для и для всех векторов имеет место соотношение

то характеристические корни соответствующих задач о собственных значениях удовлетворяют неравенству

(2.69) Пусть удовлетворяют условию (2.58). Тогда для если максимум рассматривается на множестве всех -матриц X ранга Максимум достигается в точности тогда, когда подпространство, натянутое на столбцы матрицы X, совпадает с подпространством, натянутым на собственных векторов соответствующих характеристическим корням задачи