10.4. ИТЕРАТИВНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ШКАЛИРОВАНИЯ

Как показывают приведенные выше рассуждения, задача выбора числовой шкалы может быть сведена к одной из задач о собственных значениях (10.13) В этом разделе излагается простой способ построения первой шкалы, т.е. шкалы с наилучшими разделительными свойствами. В специальном частном случае двух групп, естественно, наилучшей остается; формула (10.26).

Здесь будет представлен итеративный алгоритм; отправным пунктом для него служит произвольно выбранная схема чисел к) для категорий. От нее путем вычисления средних значений переходят к системе оценок для групп. Снова осредняя, переходим к новой системе оценок для категорий. Соответствующим образом нормированная, она дает начало новому циклу. Нормирование проводим так, чтобы наименьшая числовая мера превращалась в нуль, а наибольшая — в единицу.

Если для двух последовательных шагов различия между разностями наибольших и наименьших числовых значений (до нормирования) оказывается меньшим вычисления прерываем. Надо запрограммировать следующие шаги:

(см. скан)

В момент остановки вычислений на месте стоит искомая числовая шкала (система числовых оценок) для категорий: Ивовое поставляет искомое собственное значение по которому может быть найден дистант согласно (10.11).

Тот факт, что эта процедура сходится и действительно поставляет искомую оценку, доказывается так же, как в известном степенном методе решения задачи о собственных значениях. Сделаем некоторые замечания.

В векторной форме оба шага усреднения выглядят так:

после их объединения

Появившаяся здесь матрица согласно (10.2) и (10.7) равна:

Мы видим, что векторы определяемые соотношением (10.16), являются собственными векторами матрицы и им соответствуют собственные значения Так как эти векторы также собственные для матрицы и им соответствуют те же самые собственные значения Однако по сравнению матрица имеет еще одно отличное от нуля собственное значение, а именно Ему соответствует собственный вектор Если бы в итеративном процессе мы проводили только осреднения и не делали бы нормирования, то согласно методу решения задачи о собственных значениях мы получили бы не искомую систему оценок а тривиальное решение соответствующее наибольшему собственному значению Таким образом, объясняется роль нормирующего шага в алгоритме и тем самым исключается тривиальное решение

Итак, мы в достаточном объеме изложили метод шкалирования качественных признаков, категории которого не имеют какого-либо упорядочения.

Пример. По данным из раздела 10.1 в результате итеративной процедуры для трех категорий: «норма», «расширение сосудов» и «склероз сосудов» — получаем нормированный на интервале [0,1] набор оценок (0; 0,818; 1). С помощью линейного преобразования можно перевести эту совокупность в другую: (2,41, —1,57, —2,46). Она была получена в разделе 10.1. Одновременно находим собственное значение, что дает что в свою очередь дает