10.4. ИТЕРАТИВНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ШКАЛИРОВАНИЯ
Как показывают приведенные выше рассуждения, задача выбора числовой шкалы может быть сведена к одной из задач о собственных значениях (10.13) В этом разделе излагается простой способ построения первой шкалы, т.е. шкалы с наилучшими разделительными свойствами. В специальном частном случае двух групп, естественно, наилучшей остается; формула (10.26).
Здесь будет представлен итеративный алгоритм; отправным пунктом для него служит произвольно выбранная схема чисел 
к) для категорий. От нее путем вычисления средних значений переходят к системе оценок 
для групп. Снова осредняя, переходим к новой системе оценок для категорий. Соответствующим образом нормированная, она дает начало новому циклу. Нормирование проводим так, чтобы наименьшая числовая мера превращалась в нуль, а наибольшая — в единицу.
Если для двух последовательных шагов различия между разностями наибольших и наименьших числовых значений (до нормирования) оказывается меньшим 
вычисления прерываем. Надо запрограммировать следующие шаги:
(см. скан)
В момент остановки вычислений на месте 
стоит искомая числовая шкала (система числовых оценок) для категорий: Ивовое поставляет искомое собственное значение 
по которому может быть найден дистант согласно (10.11).
Тот факт, что эта процедура сходится и действительно поставляет искомую оценку, доказывается так же, как в известном степенном методе решения задачи о собственных значениях. Сделаем некоторые замечания.
В векторной форме оба шага усреднения выглядят так:
после их объединения
Появившаяся здесь матрица 
согласно (10.2) и (10.7) равна:
Мы видим, что векторы 
определяемые соотношением (10.16), являются собственными векторами матрицы 
и им соответствуют собственные значения 
Так как 
эти векторы также собственные для матрицы 
и им соответствуют те же самые собственные значения 
Однако по сравнению 
матрица 
имеет еще одно отличное от нуля собственное значение, а именно 
Ему соответствует собственный вектор 
Если бы в итеративном процессе мы проводили только осреднения и не делали бы нормирования, то согласно методу решения задачи о собственных значениях мы получили бы не искомую систему оценок 
а тривиальное решение 
соответствующее наибольшему собственному значению 
Таким образом, объясняется роль нормирующего шага в алгоритме и тем самым исключается тривиальное решение 
Итак, мы в достаточном объеме изложили метод шкалирования качественных признаков, категории которого не имеют какого-либо упорядочения.
Пример. По данным из раздела 10.1 в результате итеративной процедуры для трех категорий: «норма», «расширение сосудов» и «склероз сосудов» — получаем нормированный на интервале [0,1] набор оценок (0; 0,818; 1). С помощью линейного преобразования можно перевести эту совокупность в другую: (2,41, —1,57, —2,46). Она была получена в разделе 10.1. Одновременно находим собственное значение, что дает 
что в свою очередь дает 
