10.2. МНОГОКРАТНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ КАЧЕСТВЕННОГО ПРИЗНАКА

Для достижения первоначально поставленной цели — найти наилучшие числовые оценки признака, в разделе 10.1 мы практически указали путь многократного шкалирования качественного признака. А именно по каждому из собственных векторов у, являющихся решением уравнения (10.12), можно построить оценку (шкалу)

Соответствующее значение равно:

Чтобы получить единичную дисперсию, следует воспользоваться соотношением

Возможное число различных числовых шкал подчиняется соотношениям

При доказательстве этих неравенств следует учитывать, что

С помощью этой процедуры каждой категории приписывается числовых значений; каждое качественное измерение заменяется -мерным набором действительных чисел.

Данную таблицу частот можно после этого исследовать исходя из принципов многомерного дисперсионного анализа -мерных наблюдений.

Известно, что полученные в ходе многомерного дисперсионного анализа -мерные признаки стохастически независимы один от другого, так как в качестве ковариации двух оценок нормированных для получения дисперсии 1, выступает

Собственные значения можно интерпретировать как дистанты отдельных признаков. Следовательно, любая монотонно возрастающая (монотонно убывающая) функция пригодна в качестве выражения полного количества информации о соотношении между группами и категориями, содержащейся в таблице частот. Примерами таких информационных мер являются

(в соответствии с критерием Хоттелинга и

так называемая квадратичная сопряженность таблицы частот).

Оценки, нормированные для получения единичной дисперсии, играют здесь ту же роль, что в главе 7 играли неэлементарные дискриминантные признаки. Соответствующая дискриминантная наглядно изображает -мерные векторы средних значений лих дискриминантных признаков, соответствующие группам. Строки матрицы

будут векторами средних значений. Здесь диагональная матрица порядка с элементами на главной диагонали. Используя (10.5) и (10.13), получаем

В дискриминантной схеме каждая группа представлена точкой. По взаимному расположению точек можно составить представление о расстоянии между группами. Для дискриминантной схемы часто берут лишь первые два числовых признака из полученных

В силу принятой нами формальной симметрии для категорий и (аналогично группам) также можно построить дискриминантную схему, положив

Категории, которым в дискриминантной схеме соответствует одна и та же точка, можно без потерь объединить.

Рис. 11. Дискриминантная схема, дающая наглядное представление о различии между четырьмя степенями тяжести заболевания гипертонией, выявленными при рентгене аорты

Пример. По данным раздела 10.1 получаем два нормированных набора числовых оценок и . Соответствующие собственные значения составляют Так как значение очень мало, то вторая оценка едва ли полезна для разделения больных по степени тяжести заболевания гипертонией. Дискриминантная схема четырех групп описывается матрицей

Каждому столбцу матрицы в двумерном пространстве соответствует точка (рис. 11). Взаимное расположение точек показывает, насколько успешно можно различать степени гипертонии с помощью рентгенологического обследования аорты. Видно, что в первую очередь различаются группы I, II и III, IV. Степень IV мало отличается от степени III.

Дискриминантная схема трех категорий описывается матрицей

Рис. 12. Дискриминантная схема, наглядно отражающая различия, выявленные с помощью рентгенологического исследования аорты, между категориями «норма», «расширение сосудов», «склероз сосудов»

Рис. 12 отражает различие между отдельными категориями, которые дает рентгенограмма аорты; каждому столбцу матрицы соответствует точка.