7.2. ГИПОТЕЗА О РАВЕНСТВЕ ВЕКТОРОВ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ

Будем исходить из выборок, описанных в последнем разделе причем для Дальнейшие вычисления основываются на векторах средних значений отдельных групп

векторе средних значений всех групп (общее среднее)

оценках ковариационных матриц отдельных групп

а также усредненной ковариационной матрице

Векторы у и матрица несмещенные оценки и . Обозначим через элементы матрицы Тогда и

— соответственно усредненная внутригрупповая дисперсия и коэффициент корреляции. Обе матрицы симметричные. Следовательно, достаточно указывать элементы выше или ниже главной диагонали.

Пример. Для приведенного в разделе 7.1 примера с больными гипертиреозом имеем:

Над ломаной линией, проведенной по диагонали, расположены элементы матрицы т. е. коэффициенты ковариации, под ломаной линией — элементы матрицы т. е. коэффициенты корреляции. Статистическая модель, являющаяся основой процедуры проверки гипотезы, описывается уравнениями

Надо проверить гипотезу о равенстве всех векторов средних значений

Статистика критерия

При построении соответствующей статистики критерия мы воспользуемся методом, обоснование которого приведено в разделе 4.5, а обобщение — в разделе 6.1.2, т. е. выведем многомерный критерий из соответствующего одномерного.

В одномерном случае гипотеза о равенстве средних значений проверяется с помощью -отношения:

Многомерными аналогами распределенные по случайных величин, что стоят в числителе и знаменателе -отношения, служат две матрицы:

и

имеющие решающие значения для многомерного критерия. В соответствии с (4.105) составим статистику критерия

При гипотезе эта статистика приближенно распределена по закону со степенями свободы

Так как

получаем следующие выражения для статистики критерия и числа степеней свободы:

Гипотеза о равенстве векторов средних значений отвергается, если

где а — критическое значение -распределения на уровне значимости а, заимствованное из таблицы. Нам хотелось бы еще раз подчеркнуть, что может быть дробным числом, поэтому можно либо округлить число степеней свободы до целого значения, либо прибегнуть к интерполяции.

Пример. В примере с гипертиреозом из раздела 7.1 получаем

Соответствующее критическое значение -распределения на уровне значимости

Следовательно, в данном конкретном случае гипотезу о равенстве трех векторов средних значений следует отвергнуть. Между этими тремя векторами существуют различия. Присутствующий в (7.13) критический показатель здесь равен 1, т. е. положителен.

Уточненный критерий

Указанное правило проверки гипотезы вполне применимо на практике. Но легко построить более точный критерий для случая . В наших рассуждениях воспользуемся общими соображениями, изложенными в разделе 4.4. Более точные формулы критерия значимости имеют вид

если

причем могут быть дробными числами. Следует напомнить, что эти выражения получаются, если в равенствах (4.98)-(4.101) положить

Различие между методом и уточненным правилом состоит в том, что во втором случае совпадают первые два момента статистики следа и приближающего -распределения, а в первом — только один (математическое ожидание).

Для всех при оба критических правила совпадают; совпадают также первые два момента -распределения.

Пример. Применительно к примеру из раздела 7.1 уточненный критерий дает тот же самый результат, что и грубый критерий (7.14), так как вэтом случае Далее мы рассмотрим пример, где разница между обоими критериями будет явной (раздел 7.5).