В таком случае
Следовательно, вместо квадратов одномерных линейных комбинаций
в многомерном случае появляются произведения
(матрицы). Продемонстрируем этот метод на примерах.
1. Сравнение средних значений двух нормально распределенных генеральных совокупностей. В одномерном случае, как, вероятно, известно читателю, задача сводится к применению
-критерия:
Здесь
наблюдаемые значения из первой и второй генеральных совокупностей;
и — средние, вычисленные по этим наблюдениям.
Переходя к многомерной задаче, получим
Здесь
-мерные векторы наблюдений двух генеральных совокупностей;
соответствующие векторы средних значений.
С учетом (4.42) статистика критерия (см. раздел 4.4) имеет вид
Поскольку здесь мы встретились с частным случаем
(см. раздел 4.3.2), то при нулевой гипотезе эта статистика в точности
подчиняется
-распределению с числом степеней свободы
2. Сравнение средних значений нескольких генеральных совокупностей (общая задача однофакторной классификации). Квадратичные формы, отношение которых порождает
-статистику при сравнении средних значений
одномерных генеральных совокупностей, имеют вид
степени свободы —
Здесь
результаты измерений, принадлежащие
совокупности;
среднее этих значений
общее среднее всех совокупностей.
Для
получаем выражения
Согласно (4.105) и (4.42) критериальная статистика приобретает вид
Эта статистика при гипотезе
приближенно имеет
-распределение с числом степеней свободы
Более совершенная форма критерия приведена в разделе 7.2,