4.5. ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО КРИТЕРИЯ

В разделе 4.2.4 мы показали тесную связь многомерного критерия с соответствующим одномерным. От многомерной постановки задачи переходят к соответствующей одномерной, уменьшая число признаков до 1 и оставляя прочее без изменений. Для обеих задач матрица плана X, матрица гипотез К, а также совпадают. Следовательно, возникают одинаковые матрицы и

В одномерной задаче в качестве критериальной статистики используют -отношение:

где квадратичные формы от наблюдений Они статистически независимы друг от друга и при нулевой гипотезе имеют -распределение. В многомерном случае критериальная статистика является монотонной функцией корней характеристического уравнения

где

Так как и в одномерной и многомерной задачах совпадают, естественно, что выражения для матриц многомерного критерия аналогичны квадратичным формам соответствующего одномерного критерия. Разумеется, мы предполагаем, что квадратичные формы одномерного случая нам известны. На этом пути можно избежать относительно сложного определения матриц с помощью формул (4.10) и (4.11).

Для одномерного случая имеем

где элементы матриц и обозначены через

Матрицы для многомерной задачи имеют вид

На главных диагоналях стоят квадратичные формы, соответствующие отдельным признакам вне главных диагоналей — билинейные формы от пар признаков. При формальном превращении квадратичных форм одномерного случая в матрицы надо каждое произведение признаков заменить произведением соответствующих векторов как при сравнении (4.109) и (4.110) и (4.111).

Аналогичное правило замены применимо и в случае, когда квадратичные формы одномерной задачи записаны не в своей нормальной форме, так что матрицы коэффициентов не указаны явно. Пусть, например,

В таком случае

Следовательно, вместо квадратов одномерных линейных комбинаций в многомерном случае появляются произведения (матрицы). Продемонстрируем этот метод на примерах.

1. Сравнение средних значений двух нормально распределенных генеральных совокупностей. В одномерном случае, как, вероятно, известно читателю, задача сводится к применению -критерия:

Здесь наблюдаемые значения из первой и второй генеральных совокупностей; и — средние, вычисленные по этим наблюдениям.

Переходя к многомерной задаче, получим

Здесь -мерные векторы наблюдений двух генеральных совокупностей; соответствующие векторы средних значений.

С учетом (4.42) статистика критерия (см. раздел 4.4) имеет вид

Поскольку здесь мы встретились с частным случаем (см. раздел 4.3.2), то при нулевой гипотезе эта статистика в точности

подчиняется -распределению с числом степеней свободы

2. Сравнение средних значений нескольких генеральных совокупностей (общая задача однофакторной классификации). Квадратичные формы, отношение которых порождает -статистику при сравнении средних значений одномерных генеральных совокупностей, имеют вид

степени свободы —

Здесь результаты измерений, принадлежащие совокупности; среднее этих значений общее среднее всех совокупностей.

Для получаем выражения

Согласно (4.105) и (4.42) критериальная статистика приобретает вид

Эта статистика при гипотезе приближенно имеет -распределение с числом степеней свободы

Более совершенная форма критерия приведена в разделе 7.2,