4.3.4. МОЩНОСТЬ КРИТЕРИЕВ

Под мощностью критерия понимают вероятность попадания в критическую область, если эта вероятность вычислена при действии альтернативной гипотезы

Если через обозначить критическую область, мощность критерия определится как

Ясно, что для исследования мощности критериев надо знать распределения статистик критериев при каждой альтернативе В этом случае говорят о так называемом ненулевом распределении статистики критерия. Здесь возникают два первоочередных вопроса:

1. Как зависит функция мощности каждого критерия от его параметров?

2. Каковы преимущества тех или иных критериев с точки зрения сравнительного изучения их функций мощности?

Следует сразу предупредить, что удовлетворительных ответов на эти вопросы для критериев многомерного дисперсионного анализа в настоящее время нет.

Явное представление функции мощности критериев, за исключением некоторых частных случаев, аналитически чрезвычайно сложно. Впрочем, из канонического представления (4.67) исходной задачи видно и без этого аналитического представления, от каких параметров зависит ненулевое распределение.

Используя (4.82), функцию мощности критерия можно представить в виде

Отсюда следует, что функция мощности критериев, основанных на характеристических корнях матрицы зависит только от параметров уровня значимости а и от коэффициентов нецентральности которые выражают отклонения от нулевой гипотезы.

С точки зрения теории проверки статистических гипотез было бы желательно знать, по отношению к какой группе альтернатив наиболее чувствителен каждый критерий. Для этого нужны обширные сравнительные исследования функции мощности критериев. К настоящему моменту, однако, получены выводы лишь для случая единственного параметра нецентральности, т. е. для Далее мы приведем некоторые количественные результаты, достигнутые в последние годы.

Дж. Рой [77] вычислил точные значения функции мощности для следующих значений параметров:

Для

он указал приближенные значения, основанные на использовании гамма-рядов.

Другую аппроксимацию Рой получил с помощью полиномов Якоби.

Сравнительные исследования функций мощности критериев были проведены [31]. Он исходил из выводов [27] о том, что при стремлении объема выборки к бесконечности функции мощности критериев для всех возможных альтернатив выравниваются.

Ито показал, для случая т. е. когда имеется только

один параметр нецентральности что ни один из этих двух критериев не обладает преимуществом при тех сравнительно небольших объемах выборки, с которыми обычно имеют дело на практике. Для

он вычислил приближенные значения функции мощности и -критериев.

Пиллаи и Датсон [63] подробно исследовали нецентральные распределения наибольшего и наименьшего (т. е. и наибольшего, среднего и наименьшего (т. е. характеристических корней. Они использовали явное представление ненулевого распределения, указанного Константина [9] и Джеймсом [32].

Следует учитывать, что у Константина речь идет не о ненулевом распределении какого-то одного из обычных критериев, а о совместной плотности распределения характеристических корней в присутствии параметров нецентральности Для выражения этой плотности распределения требуются чрезвычайно сложные вспомогательные аналитические средства.

Исходным пунктом явного представления этой плотности распре деления служат стохастические матрицы из канонической формы гипотезы. Приводим результат Константинэ для

где

конфлюэнтная гипергеометрическая функция с матричными аргументами.

Для случая представляющего практический интерес, выражение плотности распределения получают, заменяя параметры так, как было указано нулевого распределения (4.69). При из (4.84) получается нулевое распределение (4.69).

Еще раньше С. Н. Рой [72] указал ненулевое распределение для одного параметра нецентральности а Т. В. Андерсон для двух параметров

Пиллаи и Датсон [63] исходя из распределения (4.84) вычислили функцию мощности критериев для общей линейной гипотезы при больших и малых объемах выборок.

Для двух параметров нецентральности и соответственно трех они положили а затем изменяли Гнанадесикан и др. [22] считают неоправданными попытки сравнивать функции мощности аналитически на основе ненулевого распределения Джеймса [32] и Константина [9], которые предпринимались и предпринимаются разными авторами. Они полагают, что функции мощности надо сравнивать относительно естественных мер близости, существующих в пространстве параметров.

Так, например, функция параметров нецентральности измеряет отклонения от нулевой гипотезы и представляет евклидово расстояние в пространстве в то время как является евклидовой метрикой в пространстве

Из-за большого многообразия возможных функций как меры отклонения от нулевой гипотезы Гнанадесикан и др. [22] считают метод Монте-Карло наиболее подходящим средством для изучения поведения функции мощности критериев многомерного дисперсионного анализа.

Гнанадесикан и др. [22] применили метод Монте-Карло для следующих комбинаций параметров: при , причем использовали характеристические корни матрицы полученные характеристических корней матрицы с помощью преобразования

Были рассмотрены следующие пять статистик:

отношения правдоподобия

следа

наибольшего характеристического корня

а также

В качестве меры отклонения от нулевой гипотезы были использованы семь различных функций параметров нецентральности

На основе канонической формы ненулевого распределения (4.67) для каждой комбинации параметров были вычислены 500 значений каждой из пяти статистик критериев. Для мощности критериев была прослежена следующая тенденция:

Однако встречаются отклонения от этого порядка. Так, по-видимому, для статистика V имеет наибольшую мощность, в то время как для наибольшей мощностью обладает статистика

Приведенные здесь количественные свойства нулевого и ненулевого распределений критериальных статистик многомерного дисперсионного анализа — только небольшая часть результатов, полученных в этой области за последнее десятилетие.

Нельзя не упомянуть исследований и качественных свойств критериев. Здесь прежде всего следует назвать результаты С. Дас Гупты, Т. В. Андерсона, Г. С. Мудхолкара, Дж. Н. Сриваставы, а также С. Н. Роя и В. Ф. Микхолла.

Из полученных ими выводов следует, что мощность каждого из трех критериев монотонно возрастает по параметрам нецентральности Отсюда вытекает важное свойство несмещенности этих критериев, а именно

т. е. мощность каждого критерия для всех возможных альтернатив превосходит ошибку I рода. Для критерия С.Н. Рою [73] удалось построить монотонную нижнюю границу для мощности Однако при малых значениях параметров нецентральности неизвестно, как далеко отстоит мощность от этой нижней границы.

То, что проблемы, связанные с распределениями тестовых статистик в многомерных линейных моделях решены еще не до конца, означает для читателя лишь отсутствие математически совершенного правила. Опытный статистик знает, что такое бывает и в одномерных задачах.

В данном разделе мы хотели рассказать читателю о трудностях, возникающих при многомерной постановке задач. Однако эти

трудности не должны служить поводом для пессимистических настроений. Следующая глава покажет читателю, как можно практически решать проблемы многомерной статистики.