1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дисперсионный анализ используется для установления связи между выделенным набором факторов и результативными переменными. Влияние факторов на результативные переменные мы измеряем на отдельных индивидах. Дисперсионный анализ как статистический метод опирается на конкретные значения результатов наблюдений.

Под индивидами мы понимаем отдельные экспериментальные единицы, например людей, животных, растения, приборы, промышленные изделия. Измеренные для отдельных индивидов значения переменных имеют стохастическую природу. Они являются реализациями случайной величины, распределение которой, по предположению, полностью определяется факторами, влияющими на индивид.

Измеряемые нами переменные называются признаками. Например, вес и рост — два признака для индивида «человек». Соответствующие результаты измерений, например 80 кг и 185 см, называют значениями признаков, результатами наблюдений или просто измеренными значениями. В одномерном дисперсионном анализе (предполагается, что читателю он известен) речь идет об одном-единственном признаке, т. е. об одном-единственном результате наблюдения, приходящемся на индивид. В противоположность этому многомерный дисперсионный анализ рассматривает ряд признаков, вектор признаков. Отдельные признаки (компоненты вектора признаков), вообще говоря, стохастически зависимы друг от друга. В то же время векторы признаков различных индивидов стохастически независимы. Дисперсионный анализ предполагает, что признаки есть непрерывные переменные, а также что признаки, или, точнее, векторы признаков, нормально распределены. Хотя на практике эти условия выполняются довольно редко, дисперсионный анализ часто применяется с успехом.

В противоположность признакам факторы в дисперсионном анализе имеют качественный характер. Фактор может принимать значения из множества различных возможных состояний, называемых уровнями. Предполагается, что для каждого индивида значения каждого рассматриваемого фактора находятся в точности на определенном уровне. Например, индивид «человек» относительно фактора «семейное

положение» попадает в одну из групп — холост, женат, вдов, разведен. Для фактора «пол» существуют группы «мужской» и «женский».

В зависимости от числа влияющих факторов различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализы. Многофакторный дисперсионный анализ учитывает одновременно несколько влияний. Каждый индивид оказывается при этом в одной из ячеек, появляющихся благодаря комбинациям уровней различных факторов. В случае двухфакторного дисперсионного анализа с упомянутыми факторами «семейное положение» и «пол» схема содержит: ячеек. Если каждая ячейка занята индивидом или по крайней мере в принципе может быть им занята, то говорят о перекрестной классификации. Если же каждый уровень фактора В может появиться только в комбинации с определенным уровнем фактора то говорят об иерархической классификации. Наряду с так называемыми главными эффектами отдельных факторов, в многофакторном дисперсионном анализе исследуют также эффекты взаимодействия между факторами.

В дисперсионном анализе возможна и другая классификация. Она связана с видами эффектов факторов. Если уровни фактора оказывают на результат фиксированные, или систематические, воздействия, что бывает, например, при систематически выбранном экспериментатором множестве вариантов опыта, то возникает модель с систематическими, или фиксированными, эффектами (тип I по Эйзенхарту [16]). Если при исследовании отдельно возникающие уровни фактора рассматриваются как случайные элементы из некой бесконечной популяции и, следовательно, они оказывают случайное воздействие на результативный признак, то говорят о модели со случайными эффектами (тип II). В дисперсионном анализе типа I отдельные уровни фактора или соответствующие им параметры сравниваются один с другим. В дисперсионном анализе типа II определяют оценки дисперсий гипотетических популяций на различных уровнях (оценка составляющих дисперсии) и проверяют, существенно ли они отличаются от нуля.