8.3. ПОСТРОЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ НА ОСНОВЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО КОРНЯ

Построение одновременных доверительных границ для множественного сравнения обстоятельно изложено [74]. Он руководствовался общей многомерной линейной гипотезой.

Вывод основан на двух простых алгебраических соотношениях: для всех эквивалентно (верхняя грань по множеству всех наибольший характеристический корень уравнения

Из второго соотношения ясно, что принцип «объединения-пересечения» и распределение наибольшего характеристического корня образуют основу для конструирования одновременных доверительных границ.

Если строить одновременные доверительные границы в условиях общей линейной многомерной гипотезы или проводить множественное сравнение в общем виде, то нужно учитывать комбинации всех столбцов и всех строк матрицы параметров . Для этого придется применить указанную в разделе 4.2.5 обобщенную форму многомерной линейной

гипотезы, полученную путем добавления матрицы заданных постоянных, причем

По (4.5) и (4.6) с соблюдением условия производим разбиение матрицы плана X и матрицы гипотезы К на подматрицы Это вызывает в свою очередь разбиение матрицы параметров

Нулевая гипотеза имеет вид

Альтернативная гипотеза:

Для всех билинейных форм вида где векторы удовлетворяют условию нормировки

а в остальном произвольны, с вероятностью , выполняются одновременно все неравенства

что дает одновременные (совместные) доверительные границы (с коэффициентом доверия ) для параметров общей линейной модели. Здесь критические значения из номограмм Хека, несмещенная (с минимальной дисперсией) оценка величины как то следует из (4.46).

Вывод этого правила имеется Моррисона [54].

Так как билинейные формы суть скаляры, т. е. одномерные случайные величины, то приведенное выше выражение в частном случае нахождения доверительного интервала для математического ожидания

нормального распределения при неизвестной дисперсии принимает вид

где квантиль -распределения.

Благодаря свободе в выборе матрицы гипотез К и матрицы может быть проверено бесконечно много гипотез. Мы ограничимся рассмотрением наиболее простых и в то же время практически важных, а именно покомпонентного сравнения эффектов уровней. В этом случае возникает матрица гипотезы К известной структуры, в качестве матрицы используют единичную матрицу размером