6.2. ДВЕ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СОВОКУПНОСТИ

В этом разделе мы рассмотрим две группы индивидов. Пусть -мерные векторы измерений для индивидов первой группы имеют распределение второй группы — Относительно ковариационной матрицы предположим, что она общая для обеих групп, в то время как векторы средних значений могут быть различны. Проводя статистический анализ, будем считать, что и 2 неизвестны.

6.2.1. ГИПОТЕЗА О РАВЕНСТВЕ ...

При изучении двух совокупностей часто важнее всего бывает сравнить их средние. Животновода, например, интересует, различаются ли по воздействию на качественные показатели продуктивности скота два различных метода откармливания. Врач хотел бы знать, пригоден ли определенный показатель для выявления наличия того или иного заболевания. Юрист или социолог должен выяснить, насколько различные виды совершаемых преступлений (воровство, мошенничество, сексуальное преступление и т. д.) зависят от определенных черт характера преступников.

Будем исходить из двух выборок, отобранных из обеих имеющихся групп. Обозначим через векторы наблюдений из первой группы, а через векторы наблюдений из второй группы Уравнения модели имеют вид

Проверке подлежит гипотеза

По каждой выборке вычисляются векторы средних значений:

и ковариационная матрица являющаяся оценкой истинной внутригрупповой ковариационной матрицы 2:

Построим статистику критерия по методу, кратко описанному в разделе 6.1.2. (Подробное обоснование метода было приведено в разделе 4.5.) Будем исходить из соответствующего одномерного критерия. Величины

и

имеющие -распределение, стоящее в числителе и знаменателе одномерной статистикй

в многомерной постановке надо заменить соответственно на

и

Учитывая, что согласно (6.)

получим статистику

Число степеней свободы согласно (6.9);

При справедливости гипотезы статистика имеет в точности -распределение. Гипотеза отвергается, если Эти результаты уже сообщались в разделе Пример. (Доктор Д. Гмырек. Детская клиника Шаритэ при Берлинском университете.) Чтобы своевременно приступить к медикаментозному лечению желтухи, возникающей у новорожденных из-за недоразвитости печени, желательно в первый же день жизни младенца дать прогноз о возможности заболевания (желтуха может развиться примернона пятый день жизни). Для прогноза берутся многочисленные показатели, различные как по содержанию, так и по эффекту. Остановимся на четырех из них: возраст матери вес ребенка при рождении продолжительность беременности матери показатель иктерометра

Индивиды в этом примере — новорожденные, разделенные на 2 группы.

Группа 1: дети, у которых не было желтухи (они не нуждались в медикаментозном лечении).

Группа 2: дети, у которых примерно на иятый день жизни развилась желтуха (они нуждались в медикаментозном лечении).

Табл. 2 содержит данные о 31 новорожденном. Из них следует:

Матрица симметричная. При сравнении векторов средних по обеим группам новорожденных получаем

Соответствующее табличное значение при уровне значимости Следовательно, существует значимое различие между четверками показателей подгруппам младенцев, нуждающихся и не нуждающихся в лечении.