6. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ОДНОЙ И ДВУХ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

В гл. 6 мы решим несколько конкретных задач с помощью многомерного дисперсионного анализа. Сначала рассмотрим проблемы одной и двух генеральных совокупностей, потом обсудим общую модель дисперсионного анализа и, наконец, с математической точки зрения мы из имеющегося многообразия статистических критериев изберем один. Используемая нами критериальная статистика имеет точно -распределение.

6.1. АНАЛИЗ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Рассмотрим совокупность индивидов. Под индивидами будем понимать людей, животных, растения, машины, какие-либо произведенные товары и т. д., причем для каждого индивида указаны значения определенных признаков. Признаками, если речь идет о человеке, можно считать, например, рост, вес, объем груди значений признаков одного индивида представляем в виде вектора признаков

Статистический анализ проведем, предполагая, что векторы наблюдений у принадлежат -мерной нормально распределенной

генеральной совокупности Обозначим через

вектор средних значений генеральной совокупности и через

— ковариационную матрицу. Считаем, что и неизвестны.

6.1.1. ОЦЕНКИ ...

Если мы располагаем векторами наблюдений

и, следовательно, нам известны значения признаков индивидов то могут быть получены несмещенные оценки для и 2. Оценкой является вектор

оценкой служит матрица

Здесь положительно полуопределенная, часто даже положительно определенная, симметричная -матрица. На ее главной диагонали расположены дисперсии (квадраты стандартных отклонений) отдельных признаков. Коэффициент корреляции между двумя признаками равен:

Оценка у имеет распределение , а матрица имеет распределение Уишарта Вектор у. и матрица

стохаотически независимы друг от друга и образуют систему эффективных оценок для и S (Андерсон [4]).

Пример. (Доктор Д. Гмырек. Детская клиника Шаритэ при Берлинском университете.) Рассматривается определенная категория новорожденных. Результаты представлены в следующей таблице.

Таблица 1. (см. скан) Данные о 20 новорожденных

Вектор средних значений в этом примере

Элемент 1-й строки — средний вес новорожденных в граммах, элемент 2-й строки — средний рост в сантиметрах. Ковариационная матрица

Стандартные отклонения для веса и роста:

Коэффициент корреляции между признаками: