4. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МНОГОМЕРНОГО ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

В этой главе мы кратко расскажем о проверке линейных гипотез в задачах одномерного дисперсионного анализа, что приведет нас к известному -критерию. С помощью одномерного дисперсионного анализа мы перейдем к многомерному случаю. Читателю, знакомому с одномерным дисперсионным анализом, данная глава все же будет полезна, так как позволит увидеть аналогии в ходе рассуждений, а также убедиться в возникновении новых аспектов при изучении многомерного дисперсионного анализа.

4.1. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

Подвергнем наблюденных величин дисперсионному анализу. Предположим, что каждое наблюдение принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности и отдельные наблюдения взаимно независимы.

Предположим, что вектор-столбец с компонентами удовлетворяет линейному соотношению

При этом элементы будут неизвестными параметрами и, напротив, элементы X — известными числами. Матрицу X называют матрицей плана, или блок-схемой. Она определяется соответствующим экспериментом. Далее мы примем, что все нормально распределенные совокупности имеют одинаковую дисперсию, т. е. для всех Чтобы Дисперсионный анализ оказался возможным, потребуем, чтобы ранг матрицы плана X был отличен от и число наблюдаемых значений превосходило

Составленный из наблюдений вектор-столбец у в силу сделанных выше предположений есть реализация -мерной нормально распределенной случайной величины (I — единичная матрица). Отсюда следует уравнение модели

где вектор обозначает случайные составляющие измеренных значений.

Цель дисперсионного анализа — нахождение оценок неизвестных параметров и проверка определенных гипотез. Гипотезы мы выдвигаем в виде

а их альтернативы — в виде

где К — заданная неслучайная матрица положительного ранга, относительно которой мы предполагаем, что число строк совпадает с ее рангом:

Все это в целом составляет линейную модель для одномерного случая.

Для проверки гипотезы используется известный -критерий, Его можно вывести из критерия отношения правдоподобия (см, также [1]). В дальнейшем мы приведем выражение статистики.

В отличие от модели регрессионного анализа для модели дисперсионного анализа типично то, что столбцы матрицы плана X не являются линейно-независимыми. Из-за этого построение критерия несколько усложняется.

Допустим, что в X можно найти линейно-независимых столбцов. Путем перенумерации столбцов можно достигнуть того, что первые столбцов окажутся линейно-независимыми. Соответствующую перенумерацию произведем и для После этой предварительной подготовки мы разобьем матрицу X на две подматрицы

Расчленению X соответствует также разбиение К:

В этих обозначениях статистика -критерия имеет вид

Это выражение можно вычислить в каждом конкретном случае, поскольку в него наряду с заданными наблюдениями входят только матрицы которые определяются соответствующей матрицей плана X и гипотезой, подлежащей проверке. Если гипотеза верна, отношение (4.7) имеет степенями свободы. Гипотеза отклоняется на уровне значимости а, если

В противном случае гипотеза принимается. Вывод выражения (4.7) читатель может найти, например, [74]. Заметим, что при критерий применим не для каждой выдвинутой гипотезы Указанный -итерий может быть использован для проверки гипотезы лишь при выполнении равенства

Для краткости положим

С учетом (4.10) и -статистику запишем в виде

Можно показать, что и однозначно определяются матрицей плана X и матрицей гипотезы в частности, они не зависят от выбора в X «базисной матрицы»

На основании (4.3) квадратичная форма в знаменателе (4.12) распределена по закону При справедливости нулевой гипотезы (4.4) и условия (4.3) квадратичная форма в числителе выражения (4.12) имеет -распределение, причем числитель и знаменатель стохастически независимы друг от друга.

При анализе широко известных блок-схем -факторной классификации, иерархической классификации и т.д.) при проверке нулевых гипотез о группах главных эффектов либо взаимодействий квадратичные формы в числителе и знаменателе (4.12) превращаются в привычные суммы квадратов из соответствующих таблиц дисперсионного анализа.

Проблема оценки неизвестных параметров и их линейных комбинаций тесно связана с проверкой гипотез. Предположим, мы хотим оценить вектор

Как не для любой произвольно выдвинутой гипотезы вида (4.4) можно сконструировать критерий проверки, так и не для каждого

вектора у может быть найдена оценка. По аналогии с К указанную матрицу С расчленяем на две подматрицы

Вектор у допускает оценку при условии, что

В этом случае искомой оценкой является

Среди всех линейных оценок у оценка у имеет наименьшую дисперсию.

Кроме того, она несмещенная.

При использовании оценок параметров -критерий можно представить в другом виде. Оценкой вектора средних значений (см. формулу (4.1)) является

Условие возможности построения оценки в этом случае выполняется, так как столбцы могут быть представлены в виде линейных комбинаций столбцов т. е. существует такая матрица что

благодаря чему получаем

Используя (4.16) с учетом того, что матрица симметричная и идемпотентная, получаем в знаменателе -критерия (4.12) выражения:

Соотношение такого рода большинству читателей известно: в правой части стоит сумма квадратов отклонений измеренных значений от оценок соответствующих средних значений. В этом месте нам хотелось бы подчеркнуть, что

— несмещенная оценка дисперсии ошибки измерения.

В данном случае символ означает стандартное отклонение. В других формулах используется для обозначения ранга матрицы гипотезы.

Чтобы можно было преобразовать числитель -критерия, нужно найти оценку вектора параметров

При условии, что гипотеза проверяема, т. е. выполняется (4.9), параметр допускает оценку

так что

Отсюда видно, что чем меньше тем больше оценка 6 соответствует гипотезе

Используя (4.18) и (4.21), получим выражения для -критерия: