5. МНОГОМЕРНЫЙ ДИСТАНТ, ДИСКРИМИНАНТНАЯ ФУНКЦИЯ, ЧАСТНЫЕ КРИТЕРИИ

Проводя дисперсионный анализ многомерных наблюдений, зачастую не ограничиваются применением одного многомерного критерия значимости. Требуется более детальный анализ структуры наблюдаемой совокупности. Эта глава должна заложить основы для дальнейших углубленных исследований числового материала с целью выявления скрытых в нем взаимосвязей. Такие дополнительные исследования базируются на методике многомерного дисперсионного анализа.

5.1. МНОГОМЕРНЫЙ ДИСТАНТ, ИЗБЫТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ

В эмпирических науках часто встречаются задачи объективной оценки информационного содержания определенных величин. Для их решения многомерный дисперсионный анализ располагает математической моделью.

В наших рассуждениях мы опять будем исходить из многомерной линейной модели (4.27) и гипотезы вида (4.28). Матрица X отражает план эксперимента, а матрица К определяет гипотезу. Воздерживаясь для начала от статистического анализа, будем считать матрицу параметров В и ковариационную матрицу заданными и однозначно определенными экспериментом.

Введем меру того, насколько матрица параметров В противоречит гипотезе При строгой справедливости гипотезы значение этой меры должно быть равно О. Так как подобная мера на практике большей частью отражает разницу, существующую между элементами матриц В, и так как одновременно она является критерием качества проведенного дискриминантного анализа, мы ее будем называть мерой разделения, или дистантом.

Определение дистанта

В предыдущих разделах мы установили, что для данной матрицы наблюдений величина может рассматриваться как мера отклонения от гипотезы

Преобразуем используя (4.42) и (4.45). Заменим их математическими ожиданиями Полученная таким образом величина не зависит от случая, но в остальном полностью аналогична Таким образом, получаем дистант:

Используя условие (4.29) (при котором гипотеза допускает проверку), можно показать, что матрица не зависит от выбора в X «базисной матрицы» Следовательно, дистант однозначно определяется Предложенный дистант выражает, насколько сильно матрица параметров В противоречит гипотезе Величина тогда и только тогда, когда гипотеза верна. Положив по определению

получим для выражение

Зависимость от множества признаков

Многомерный дистант зависит от всех признаков, т. е. от всего порожденного ими -мерного пространства. Из совокупности исходных признаков с помощью линейного преобразования

можно образовать и новых признаков Для этих новых признаков, а точнее, для -мерного пространства, натянутого на эти признаки, также можно построить дистант, Если предположить, что его величина равна:

Обозначим эту новую меру в противоположность дистанту полного пространства, определяемого формулой (5.3).

Теорема. Многомерный дистант монотонно зависит от пространства признаков, лежащих в его основе. Точнее: если матрицу преобразования (5.4) разделить на две части, состоящие из их и столбцов, т. е. представить в виде то

Доказательство. Пусть

Тогда

где

Из (2.78) следует:

Таким образом, получаем

Матрица, след которой фигурирует в (5.7), образована произведением двух симметричных положительно полуопределенных матриц. Согласно (2.51) этот след неотрицателен, что и требовалось доказать.

Разность (5.7) интерпретируется так же, как прирост информации, за счет добавления признаков к признакам Если разность равна 0, то дополнительные признаки избыточны относительно первых признаков.

Зависимость от гипотезы

Можно также показать, что многомерный дистант монотонно зависит от гипотезы.

Теорема. Если в модели (4.27) выдвинуты две линейные гипотезы и Но причем вторая следует из первой, т. е.

то для соответствующих дистантов действует неравенство

Доказательство. В силу (5.1) и (5.5)

Как в предыдущей теореме, выводим отсюда, что

Доказательство закончено.

Нормированный дистант

При сравнении значений дистантов, получающихся при различных подходах к модели, иногда имеет смысл вместо употреблять нормированную величину

Обоснованность этой замены обсуждается в разделе 7.4.