4.4. АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Т^2

Авторы этой книги имеют намерение не только познакомить читателей с теоретическими проблемами многомерного дисперсионного и дискриминантного анализов, но хотят также способствовать непосредственному практическому применению таких методов. Для практических целей, с нашей точки зрения, удобнее всего пользоваться статистикой следа

Она проста, и для ее определения не надо находить собственных значений. Ее легко вычислить благодаря известным свойствам аддитивности.

Как будет показано в главах одновременно может быть использована в качестве показателя расстояния в многомерном пространстве, т. е. как мера для определения информационного содержания исследуемых признаков (дистант).

4.4.1. АППРОКСИМАЦИЯ НУЛЕВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статистические свойства были изложены в разделе 4.3.2. Здесь же мы в основном будем рассматривать вопросы аппроксимации распределения величины распределением при справедливости нулевой гипотезы. Благодаря этой аппроксимации могут быть найдены как квантили для заданных уровней значимости, так и наоборот, для заданных квантилей могут быть определены соответствующие «критические» уровни значимости. Далее мы будем использовать аппроксимацию -распределения распределением предложенную Лёйтером [40]. -аппроксимации были предложены также Лоули [45], Пиллаи [58], Пиллаи и Янгом [65] и Мак-Кеоном [49]. Аппроксимации, рассмотренные в первых двух работах, не точнее чем приближение Лёйтера.

Аппроксимация Пиллаи-Янга, а также Мак-Кеона на основе первых трех моментов статистики хотя и точнее, чем приближение, приведенное здесь, но имеет ряд недостатков. Так, она не при всех комбинациях приводит действительно к -распределению и, кроме того, при ее применении требуется большой объем вычислений. Сравнение -квантилей аппроксимации Лёйтера для с квантилями, полученными по методу Пиллаи-Янга и Мак-Кеона (когда эти методы вообще применимы) показало, что различие не превосходит 1%.

Для -распределения существует много таблиц квантилей и соответствующих машинных программ. Поэтому применение в многомерном дисперсионном анализе -аппроксимаций удобнее других приближений, например аппроксимации квантилей квантилями

-распределения с степенями свободы, предложенного Ито [29], аппроксимации функции распределения неполной -функцией, выполненной Пиллаи [57], [60], а также аппроксимации Пиллаи и Самсона [61] с помощью кривых Пирсона.

Известную и очень простую аппроксимацию -распределения распределением степенями свободы следует рекомендовать только при очень больших объемах выборок, так как при малых она дает значительную погрешность. -аппроксимация Лёйтера сконструирована так, чтобы при она совпадала сточным распределением кроме того, первые ее два момента совпадали с точными значениями момента указанных Лоули [45], а также Пиллаи и Самсоном [61].

При аппроксимации исходим из распределения Уишарта -матриц степенями свободы и стохастической независимости этих случайных матриц.

Положим

если Получаем, что статистика

при справедливости нулевой гипотезы имеет приближенно -распределение со степенями свободы Здесь могут быть дробными числами. Аппроксимация применима только для При или какой-либо критерий значимости вообще не может быть применен, что говорит о предельно малом объеме наблюдений. На практике предельные случаи едва ли встречаются. Параметры могут быть любыми положительными целыми числами.

Можно проверить, что при рассматриваемых условиях всегда Для второго числа степенёй свободы получаем неравенство При это непосредственно следует из приведенных формул, а при из соотношения

в которое превращается (4.95) в этом частном случае.

Использование для многомерного критерия именно такой аппроксимации сводит дело к широко распространенным таблицам F-pacпределения.

Нулевая гипотеза отвергается, если при заданном уровне значимости а

где — критическое значение, заимствованное из таблицы квантилей -распределения.

Приведем два примера определения соответствующих критических значений. Эти примеры различаются показателями степеней свободы.

Если

При

Найденные критические значения можно сравнивать с результатами вычислений Граббса [23] (см. [78, с. 165—171]).

В первом случае по Граббсу точное критическое значение во втором случае

В разделе 4.3 мы упомянули/что нулевое распределение характеристических корней не изменяется, если заменить на В соответствии с этим формулы аппроксимирующего распределения обладают определенной внутренней симметрией, что станет особенно явным, если положить

Тогда имеем

Формулы применяются при Очевидно, что перестановка при неизменном I не вызывает изменений.

Это правило несколько осложнено тем, что статистика определяется формулами двояко, в зависимости от того, какая из возможностей (4.93) или (4.95) осуществилась.

Выкладки упрощаются, если использовать менее совершенное приближение. Оно заключается в том, что при всех условиях полагают

Это дает

Упрощенный критерий применим для Для в частности при он совпадает с первоначальным. В противоположной ситуации аппроксимация ухудшается. При вторые моменты точного и аппроксимирующего распределений не совпадают. В приведенном выше примере при упрощенное приближение дает следующие результаты:

Точное значение по Граббсу [23] составляет:

Погрешность по сравнению с первой аппроксимацией, очевидно, увеличивается. Описывая в дальнейшем практические применения критериев значимости, мы лишь изредка будем упоминать упрощенный критерий. Если желать высокой точности при очень малых значениях следует выполнять расчеты по формулам

4.4.2. АППРОКСИМАЦИЯ НЕНУЛЕВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

F-аппроксимацию распределения по формулам можно, по крайней мере отчасти, распространить и на нецентральный случай. Предположим, что -матрица имеет центральное распределение Уишарта -матрица нецентральное распределение Уишарта (см. (3.27)). Пусть матрица размерности имеет ранг единственный параметр нецентральности, остающийся в распределении

Распределение статистики Лоули Хотеллинга будем рассматривать при условии,

При величина

приближенно имеет нецентральное -распределение со степенями свободы

и параметром нецентральности

При распределение статистики

приближается к центральному -распределению со степенями свободы

Эта аппроксимация основана на приравнивании первых двух моментов. При статистика в точности подчиняется аппроксимирующему -распределению. Как и в центральном случае, здесь Обе возможности плавно переходят одна в другую, так как непрерывная функция от а при нецентральное F-распределение стремится к центральному -распределению

В разделе 7.12 эта аппроксимация будет использована для планирования объемов выборок при проведении многомерного дисперсионного анализа.