2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Теория многомерного дисперсионного анализа, с которой мы в этой книге хотим познакомить читателя, может быть отчетливо изложена только с помощью матричного исчисления. Для облегчения понимания материала последующих разделов в данной главе представлены важнейшие понятия, утверждения и теоремы матричного исчисления. Для краткости изложения доказательства не приводятся, читатель найдет их в соответствующей специальной литературе.

2.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

(2.1) Определение. Под -матрицей, или матрицей размерностью понимают прямоугольную таблицу действительных чисел, расположенных в строках и столбцах.

Краткий способ записи:

(2.2) Определение. Матрица, чьи столбцы являются строками матрицы А (при сохранении их порядка), называется транспонированной по отношению к матрице А. Она обозначается А и имеет размерность

(2.3) Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца или одной строки, называется соответственно вектор-столбцом или вектор-строкой.

Вектор-строки получаются из вектор-столбцов (и обратно) путем транспонирования.

(2.4) Транспонирование — это рефлексивная операция, что означает

(2.5) Определение. Матрицу А можно умножить на действительное число путем умножения на каждого ее элемента.

(2.6) Определение. Сумма двух матриц одинаковой размерности представляет собой матрицу, каждый элемент которой получен сложением соответствующих элементов и матриц-слагаемых.

(2.7) Свойство:

(2.8) Определение. Произведением двух матриц называется матрица С с элементами

(2.9) Умножение матриц в общем случае некоммутативно, т.е.

(2.10) Свойство:

(2.11) Определение. Ранг матриц А (кратко обозначается равен максимально возможному числу линейно-независимых столбцов А, или, что эквивалентно, максимально возможному числу линейно-независимых строк А.

(2.12) Для двух матриц выполняются следующие соотношения:

(2.13) Свойство:

(2.14) Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается 0.