4.3.2. КРИТЕРИЙ T^2 (ЛОУЛИ, ХОТЕЛЛИНГ)

Точное распределение статистики

где при справедливости нулевой гипотезы до недавнего времени не было известно, за исключением трех частных случаев, когда В двух из них, когда дело сводится к -распределению,

Для точное распределение (при нулевой гипотезе) было указано Хотеллингом.

Кроме того, известно, что предельным распределением величины при является -распределение с -степенями свободы (см. [551). Граббе [23] исследовал точное распределение величины

и построил таблицы критических значений (при справедливости нулевой гипотезы) для следующего диапазона параметров:

Дейвис [11], а также Пиллаи и Янг [65] продолжили исследования точного распределения статистики при и построили таблицы критических значений.

Кришнаян и Чанг [36] с помощью обратного преобразования Лапласа получили точное нулевое распределение статистики в замкнутой аналитической форме для любых параметров Но из этого представления удалось извлечь критические значения пока только для простого случая

Несмотря на эти трудности в исследовании точных распределений , критерий следа используется довольно часто, что объясняется прежде всего удовлетворительной аппроксимацией: в виде -распределения для виде -распределения для

Для больших выборок Ито [30] указал аппроксимацию для которая (при нулевой гипотезе) приводит к центральному -распределению с степенями свободы, а при альтернативной гипотезе — к нецентральному -распределению с степенями свободы и параметром нецентральности Числа корни характеристического уравнения возникающего при альтернативе, т. е. когда Пиллаи и Самсон [61] для больших использовали другую аппроксимацию — кривой Пирсона, подобранной приравниванием моментов. Они вычислили критические значения для при

Здесь мы применяем аппроксимацию распределения -распределением. Оно было предложено Лейтером [40]. (Более подробно об этом см. раздел 4.4.)