7.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДИСКРИМИНАНТНЫХ ФУНКЦИЙ

Большая часть вычислений в многомерном дисперсионном и дис-криминантном анализах (если не считать проблему собственных значений (7.44)) связана с простыми действиями над матрицами. Матрицы появляющиеся при решении этой проблемы, имеют размерность которая достигает подчас значительной величины. С другой стороны, так как известно, что у матрицы ранг, самое большее, и вследствие этого она не может иметь более чем характеристических корней, отличных от нуля, следует ожидать, что проблема собственных значений (7.44) в случае может быть заменена эквивалентной проблемой собственных значений для матриц меньшей размерности.} Эту проблему собственных значений представим в виде

где диагональная матрица. Ее диагональными элементами будут объемы выборок Матрица из (7.45) имеет порядок

Покажем, что отличные от нуля характеристические корни из (7.54) являются также характеристическими корнями (7.44), и матрицу первых характеристических векторов (7.44) можно получить из матрицы

первых характеристических векторов (7.54) посредством соотношения

где А — диагональная матрица из положительных характеристических корней Известно, что определение матрицы содержащей весовые коэффициенты неэлементарных дискриминантных функций, базируется на знании матрицы состоящей из весовых коэффициентов элементарных дискриминантных функций.

При доказательстве исходят из (7.56), а также из того, что

Отсюда следует

В силу того, что

получаем

Из равенств (7.57) и (7.59) следует, что решения уравнения (7.44).

Проблема собственных значений (7.54) существует и при но тогда не происходит снижения порядка матрицы. В правой части (7.54) стоит единичная матрица, в противоположность (7.44), где на этом месте стоит матрица что заметно упрощает вычисления.

Пример. Для данных о гипертиреозе из раздела 7.1 уравнение (7.54) приобретает вид

Его решения:

С помощью обоих собственных векторов из (7.56) получаем весовые коэффициенты неэлементарных дискриминантных функций приведенные в разделе 7.5.