5.3. ОЦЕНИВАНИЕ МНОГОМЕРНОГО ДИСТАНТА И ДИСКРИМИНАНТНОЙ ФУНКЦИИ

В разделах 5.1 и 5.2 мы считали матрицы заданными. Однако на практике они неизвестны, так что вместо них нужно использовать их оценки. Подставим

Эти оценки состоятельны, т. е. при большом объеме выборки будут хорошими приближениями к в следующем смысле.

Представим себе, что матрица плана X общей модели (4.27) многократно повторяется, т. е. ее место занимает матрица

В таком случае при для соответствующих оценок и разности по вероятности сходятся к 0. Отсюда заключаем, что

— состоятельная оценка что выборочный дискриминантный вектор

— состоятельная оценка дискриминантного вектора (5.9), и что характеристические корни уравнения

— состоятельные оценки наибольших корней уравнения (5.17), а собственные векторы уравнения (5.26) — состоятельные оценки решений (5.17). При этом для простоты предполагается, что для выполняется соответствующее нормирование и отличные от нуля корни не кратны. Доказательство этих утверждений мы опускаем.

На можно перенести утверждения раздела 5.1 о монотонности диетанта; для соответствующих оценок остаются в силе равенство

(5.13) и теоремы раздела 5.2, что связывает дискриминантные признаки с подпространствами, порожденными собственными векторами. Доказать эти теоремы читатель может сам без особых затруднений.