3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УИШАРТА

(3.18) Определение. Распределением Уишарта называется многомерное распределение случайной -матрицы

где взаимно независимые -мерные случайные величины, распределенные по Здесь 2 — положительно определенная симметричная -матрица. Следовательно, распределение Уишарта есть обобщение -распределения. Параметр называют числом степеней свободы распределения Уишарта.

(3.19) Если то плотность вероятности -распределения Уишарта имеет вид

(3.20) Математическое ожидание случайной величины X с -распределением:

(3.21) Пусть случайная -матрица со взаимно независимыми столбцами, каждый из которых имеет -распределен#е. При этом предположении обобщенная квадратичная форма тогда и только тогда подчинена -распределению Уишарта, когда А — идемпотентная матрица ранга

(3.22) Пусть случайная -матрица со взаимно независимыми столбцами, каждый из которых имеет -распределение, а две идемпотентные -матрицы. В этом случае условие необходимо и достаточно для того, чтобы обобщенные квадратичные формы и были взаимно стохастически независимы.

(3.23) Пусть случайная -матрица со взаимно независимыми столбцами, каждый из которых имеет -распределение; А — симметричная -матрица. При этих условиях обобщенная квадратичная форма распределена по если хотя бы для одного -мерного ненулевого вектора обычная квадратичная форма и распределена по закону Этот результат позволяет свести исследование распределения Уишарта к изучению -распределения.

(3.24) Пусть две случайные стохастически независимые -матрицы. Каждая распределена соответственно по Тогда имеет распределение

(3.25) Если случайная -матрица X распределена по и является -матрицей ранга то имеет распределение

(3.26) Пусть распределение матрицы Представим X и 2 в виде блочных матриц

где квадратные матрицы порядка — квадратные матрицы порядка Если то матрица

распределена по закону где

(3.27) Определение. Нецентральным распределением Уишарта называется распределение -матрицы

где все взаимно стохастически независимы и распределены по а

(3.28) Пусть Ни две стохастически независимые матрицы с распределениями , причем Пусть матрицы разделены на блоки аналогично пункту (3.26) и, кроме того,

Тогда матрица

имеет центральное распределение Уишарта матрица

имеет центральное распределение Уишарта Обе эти

случайные матрицы взаимно стохастически независимы. Здесь