ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО
— множество X линейного пространства Е, характеризуемое следующим свойством. Если
произвольные элементы мн-ва X, то при любом
точка
. Др. словами, мн-во X — выпуклое, если оно целиком содержит отрезок, определяемый любыми двумя его точками. В. м., напр., являются: точка
; шар произвольного радиуса; любое подпространство Е, в частности в
-мерном эвклидовом пространстве
каждое из полупространств ацхз
, определяемых гиперплоскостью
Свойства В. м.:
.
1) если 
точки мн-ва X, то этому мн-ву принадлежит и любая точка 
являющаяся выпуклой комбинацией Toчек 
где 
пересечение В. 
также является В. 
в пространстве 
любые два В. м. X и У, не имеющие общих точек, могут быть разделены ненулевой линейной ф-цией, т. е. найдется такая линейная ф-ция 
что 
для всех 
(теорема об отделимости В. м.). Аналогичное утверждение сохраняет силу и в случае произвольного линейного пространства, при условии, что одно из мн-в имеет внутреннюю (в определенном для рассматриваемого пространства смысле) точку. При более жестких требованиях, предъявляемых к В. 
и У, гарантируется существование ненулевой линейной ф-ции, строго разделяющей эти мн-ва: 
для всех 
, где а — некоторая константа, а 
В пространстве 
для этого достаточно, чтобы мн-ва X и У были замкнуты, не пересекались, и, по крайней мере, одно из них было ограничено. В каждой граничной точке у В. 
может быть определена по крайней мере одна линейная ф-ция 
называемая опорной ф-цией к мн-ву X в точке у такая, что 
для всех 
.
Существуют различные спец. конструкции В. 
Выпуклый конус К с вершиной 
, Выпуклая оболочка [X] (или 
) произвольного множества X линейного пространства Е, Выпуклое многогранное множество). Благодаря своим свойствам, понятие В. м. находит широкое применение в функциональном анализе, программировании линейном и нелинейном, оптимального управления теории, играх дифференциальных.
Лит.: Болтянский В. Г. Математические методы оптимапыюго управления. М., 1969; Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. Пер. с англ. М., 1964 [библиогр. с. 798—819]. Ю. М. Данилин.
