Теорема Шаудера о неподвижной точке.

К сожалению, метод последовательных приближений может оказаться непригодным даже в том случае, когда существует единственная неподвижная точка, и тогда для доказательства теоремы существования требуется использовать более тонкие средства. Одним из таких средств является теорема Биркгофа — Келлога — Шаудера о неподвижной точке (см. Биркгоф, Келлог [1, 2]; см. также Лере [5, 6]), являющаяся обобщением на случай бесконечномерных пространств классической теоремы Брауэра о неподвижной точке.

Напомним, что подмножество банахова пространства называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими элементами оно содержит также все элементы вида Подмножество называется

компактным, если каждая бесконечная последовательность элементов содержит сходящуюся подпоследовательность.

Теорема Шаудера о неподвижной точке устанавливает, что непрерывное отображение выпуклого подмножества банахова пространства В в компактную часть имеет неподвижную точку.

При применении этой теоремы о неподвижной точке к определенному выше оператору надо сначала проверить, что он отображает некоторое выпуклое подмножество пространства, обычно сферу в себя. Это равносильно получению оценки для нормы всех решений линейного дифференциального уравнения (10.6) с из В. Всякая такая оценка называется априорной оценкой, так как она должна быть получена без знания самого решения. Затем надо проверить, что оператор отображает ограниченные множества в компактные, или, как еще говорят, что вполне непрерывен. Эта часть доказательства обычно не представляет трудности. Действительно, предположим, например, что коэффициенты непрерывны по Гёльдеру и что В есть пространство функций, непрерывно дифференцируемых по Гельдеру. Тогда является некоторым решением линейного эллиптического дифференциального уравнения с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и, как было отмечено в § 7, обладает более сильными, чем эти коэффициенты, свойствами непрерывности. Точнее, при сделанных предположениях будет дважды непрерывно по Гёльдеру дифференцируемой функцией. Это свойство гладкости выраженное количественно, является в точности тем, что требуется для установления полной непрерывности. Фактическое доказательство включает в себя простое применение теоремы Арцела.