компактным, если каждая бесконечная последовательность элементов
содержит сходящуюся подпоследовательность.
Теорема Шаудера о неподвижной точке устанавливает, что непрерывное отображение выпуклого подмножества
банахова пространства В в компактную часть
имеет неподвижную точку.
При применении этой теоремы о неподвижной точке к определенному выше оператору
надо сначала проверить, что он отображает некоторое выпуклое подмножество пространства, обычно сферу
в себя. Это равносильно получению оценки для нормы
всех решений линейного дифференциального уравнения (10.6) с
из В. Всякая такая оценка называется априорной оценкой, так как она должна быть получена без знания самого решения. Затем надо проверить, что оператор
отображает ограниченные множества в компактные, или, как еще говорят, что
вполне непрерывен. Эта часть доказательства обычно не представляет трудности. Действительно, предположим, например, что коэффициенты
непрерывны по Гёльдеру и что В есть пространство функций, непрерывно дифференцируемых по Гельдеру. Тогда
является некоторым решением линейного эллиптического дифференциального уравнения с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и, как было отмечено в § 7, обладает более сильными, чем эти коэффициенты, свойствами непрерывности. Точнее, при сделанных предположениях
будет дважды непрерывно по Гёльдеру дифференцируемой функцией. Это свойство гладкости
выраженное количественно, является в точности тем, что требуется для установления полной непрерывности. Фактическое доказательство включает в себя простое применение теоремы Арцела.