109. Предельный переход под знаком интеграла.

Приведем простые по форме и важные для приложений теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.

Теорема 1. Пусть бесконечная последовательность функций, суммируемых на Е, причем для всякого имеется почти везде на Е оценка

где суммируема на Е, и почти везде на Е. При суммируема на Е и

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству свойства 15 из . Суммируемость следует из того, что почти везде на Е. Как и в [107], вводятся множества причем при Вместо (65) имеем

и

В силу абсолютной непрерывности интеграла от существует такое N, что

и

откуда, ввиду произвольности и следует (81).

Теорема 2. Пусть неотрицательны и суммируемы на почти везде на Е и

где А — некоторое число (не зависит от ). При этом мируема на Е и

Отметим сначала, что если в некоторой точке то . В этом легко убедиться, разбирая отдельно случаи Таким образом, почти везде на Е при любом т. Очевидное неравенство и (82) дает

и, в силу свойства 15 из [107], причем роль L играет , имеем

Переходя в (84) к пределу при получаем

откуда следует суммируемость на Е, и при неравенство (83).

Теорема 3. Пусть неубывающая последовательность суммируемых на Е функций. При этом у предельной функции интеграл по Е равен конечной величине или и имеет место формула (81).

Суммируемые функции почти веэде на Е конечны, и неубывающая последовательность в каждой точке имеет предел, который может быть и бесконечным. Для простоты будем считать, что

все значения всех конечны. Но значения могут, очевидно, равняться и .

Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных функций . Мы имеем

Если - суммируема на Е, то и суммируема. Разность может играть роль теоремы 1, и применяя теорему, получим

откуда следует (81).

Положим теперь, что интеграл от равен Поскольку суммируема, отсюда следует, что суммируема, а интеграл от равен , т. е. интеграл от равен

В силу свойства 16 из имеем

Пусть K — любое заданное положительное число. Ввиду того, что интеграл от равен существует такое фиксированное , что правая часть (85) больше K, и, в силу (85), для всех достаточно больших

и тем более

Отсюда, ввиду произвольности K, следует

т. е.

и формула (81) доказана и в том случае, когда интеграл от равен .

Замечание. Аналогичный результат справедлив и для невозрастающей последовательности суммируемых функций причем предельная функция может иметь интеграл, равный Он непосредственно получается из доказанной теоремы заменою на

Отметим еще важное следствие доказанной теоремы.

Теорема 4. Если функции неотрицательны в суммируемы на Е и ряд с неотрицательными членами

сходится, то почти везде на Е сходится ряд

и при почти везде на Е.

Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных суммируемых на Е функций

и применим теорему 3. В силу сходимости ряда (86), интеграл от при имеет конечный предел. Следовательно, предельная функция» в данном случае выражаемая рядом (87)

суммируемая на а потому имеет на Е почти везде конечные значения, т. е. ряд (87) сходится почти везде на откуда непосредственно следует, что при почти везде на .