§ 2. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ

Предположим, что жидкость идеальна, массовые силы консервативны, движение установившееся, имеет место баротропность на линии тока.

Так как жидкость идеальна, то уравнение движения

Так как массовые силы консервативны, то

и уравнение (2.1) можно переписать в виде

(2.3)

Предположение о баротропности на линии тока означает, что

где С постоянна на линии тока.

При установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Обозначим через dr(dx,dy,dz) элементарное перемещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2.3) на

Так как линия тока является и траекторией, то

Кроме того,

Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим

Имея в виду (2.4), введем функцию Р(р, С):

С учетом (2.9) равенство (2.8) можно переписать в виде

Отсюда

(2.11)

Равенства (2.10) и (2.11) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (2.11) может изменяться при переходе от одной линии тока к другой.

Равенство (2.11) называют интегралом Бернулли.

Рассмотрим интеграл Бернулли для двух важных случаев.

1. Однородная несжимаемая жидкость. В этом случае - заданная постоянная и . Интеграл Бернулли примет вид

Если массовые силы — силы тяжести, то V = gz и интеграл Бернулли в этом случае

или

Отдельные слагаемые в (2.14) имеют размерность длины и называются соответственно: — скоростной, z — геометрической, — пьезометрической высотами. Равенство (2.14) позволяет дать такую формулировку интергала Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока.

2. Совершенный газ. В этом случае уравнение состояния есть уравнение Клапейрона . При сделанных в этой главе предположениях имеет место адиабата Пуассона (1.11). Введем новую постоянную . Тогда

Учитывая (2.15), вычисляем :

Подставив (2.16) в (2.11), получим интеграл Бернулли в виде

Из физики известно, что производная равна квадрату скорости звука. В случае адиабатического процесса можно убедиться, что . Таким образом,

Эта формула является одной из важных формул газовой динамики. В газовой динамике обычно массовые силы не учитывают, а постоянную С обозначают через . В этом случае интеграл Бернулли принимает вид

Здесь v — скорость газа, а — скорость звука в той же точке.

Чтобы определить постоянную в правой части (2.19), достаточно знать характеристики в какой-либо одной точке линии тока. Из (2.19) следует, что скорость звука и температура, а с учетом (2.15), и давление и плотность будут максимальными на линии тока в точке, где скорость равна нулю. Эти величины обычно обозначают через и называют параметрами адиабатически заторможенного газа (параметрами торможения) . Величину называют энтальпией (теплосодержанием). Соответственно постоянную в правой части интеграла (2.19) называют энтальпией торможения. Положив в (2.19) скорость , получим выражение для через параметры заторможенного газа:

Может случиться, что в некоторой точке скорость газа окажется равной скорости распространения звука в данном месте, т. е. . Полагая в (2.19) , получаем выражение через критическую скорость а.

Соответственно интеграл Бернулли запишется в виде

Из этого равенства следует: если , то тогда т. е. поток сверхзвуковой; если , то т. е. поток дозвуковой. Поэтому скорость а и называют критической.