§ 2. ВЯЗКАЯ (НЬЮТОНОВСКАЯ) ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЕ

Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью v (рис. 10).

Опыт показывает, что сила f, которую надо приложить к верхней пластине, где S — площадь пластины. Сила, приходящаяся на единицу площади, в нашем случае касательное напряжение

Здесь — коэффициент, который зависит от свойств жидкости.

Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верхней — равна скорости пластины. Распределение скоростей поперек линейно зависит от расстояния

В силу (2.2) — и выражение для можно записать в виде

Для многих жидкостей равенство (2.1) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент называется коэффициентом вязкости. Причиной вязкости (касательных напряжений) является хаотическое движение молекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга.

Так как в рассматриваемом движении и, следовательно, то, как следует из (2.3), в этом случае справедливо соотношение

Рис. 10.

В соответствии с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае.

Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия:

1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;

2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций;

3) жидкость изотропна, т. е. ее свойства одинаковы по всем направлениям.

Условие 1) означает, что при если все .

Условие 2) означает, что тмогут быть представлены через в виде (учитывая симметрию тензора напряжений)

Условие 3) означает, что коэффициенты а в (2.5) не зависят от выбора системы координат.

Предположим, что жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. В этом случае все . Из формул (2.5) тогда будет следовать, что

Но по условию 1) все касательные напряжения при этом обращаются в нуль. Следовательно,

Нормальные напряжения в этом случае не зависят от ориентировки площадки. Обозначим общую величину этих напряжений через —р. Тогда

Перейдем к системе координат х, у, z, оси которой являются главными осями для тензора скоростей деформаций. Обозначим Выпишем выражения для и в этих координатах, учитывая (2.7) и (2.8):

Рассмотрим формулу (2.9). Покажем, что . Для этого введем новые оси координат

Оси — тоже главные оси тензора скоростей деформаций. В этих осях равенство (2.9) сохраняет свой вид:

Здесь — главные скорости деформации в осях . Учитывая (2.11) и определение величин , получим

Подставив (2.12), будем иметь

Так как оси совпадают, то и

Приравнивая (2.9) и (2.14), получим

Так как (2.16) имеет место при любых , то, следовательно,

Положим

Подставляя (2.18) в (2.9), получим

Аналогично получим формулы для и

Здесь .

Рассмотрим теперь выражение (2.10) для касательных напряжений и покажем, что в главных осях тензора скоростей деформаций все касательные напряжения равны нулю. Наряду с системой координат х, у, z введем систему координат :

Новая система координат также является главной и можно написать

Очевидно,

Подставляя (2.22) в (2.21), получаем

Но по физическому смыслу справедливо и такое равенство:

Действительно, величина есть проекция вектора на ось у, а — проекция этого же вектора на противоположное направление. Из равенств (2.23) и (2.24) следует, что .

Аналогично устанавливается равенство нулю и остальных касательных напряжений:

т. е. в главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и главными осями тензора напряжений.

Равенства (2.19) и (2.25) можно объединить, записав их в виде одного тензорного равенства:

Равенство (2.26) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в каких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам.

Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид

Для составляющих получим

Используя формулы для составляющих тензора скоростей деформаций ((8.8) гл, I), получим окончательное выражение для составляющих тензора напряжений в вязкой жидкости:

В формулы (2.27), (2.28) входят два параметра: и . Если , то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Коэффициент р называют коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), — вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объемной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости называют не , а величину Наряду с для несжимаемой жидкости часто рассматривают величину v, называемую кинематическим коэффициентом вязкости . Коэффициент может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически. Вообще говоря, но зависимость от давления слабая. Наиболее часто пользуются следующими приближенными формулами для зависимости от . Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость

Здесь а берется из эксперимента (для воздуха ) — значение коэффициента вязкости при . Для более широких интервалов температур принимают — (для воздуха ). Часто пользуются формулой Сюзерленда

Постоянная С для воздуха, азота и кислорода соответственно имеет значения 117, 110 и 127.

Второй коэффициент вязкости исследовать трудно. В случае, если жидкость несжимаема, то и он выпадает из уравнений. Для случая одноатомных газов теоретически показано, что Коэффициент существен в задаче о распространении звука.

Замечание. Закон связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, который мы установили исходя из закона трения Ньютона, имеет вид (2.27). Жидкости, которые подчиняются этому закону, называются ньютоновскими жидкостями. Однако существуют жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона. Приведем примеры.

Пример 1. Для растворов полимеров (например, каучук в бензоле) и некоторых легко деформируемых металлов, которые можно рассматривать как жидкости, часто используется следующая связь между (предполагается, что )

Здесь

Тензор — тензор второго ранга. Действительно, перемножив тензоры скоростей деформаций получим тензор четвертого порядка с составляющими Свертывая этот тензор по индексу приходим к тензору . В выражение для тензор входит с коэффициентом Коэффициент S — новая физическая характеристика для жидкостей, он находится из эксперимента.

Пример 2. Модель вязкой жидкости неприменима для описания течений разреженных газов. Степень разреженности газа и область применимости модели вязкой жидкости к газам определяются величиной числа Кнудсена , где I — средняя длина свободного пробега молекул, L — характерный размер тела. Для слаборазреженных газов , коэффициенты вязкости и теплопроводности k пропорциональны I и закон трения Ньютона верен с точностью до членов порядка . Следующее приближение на этом пути (приближение Барнетта) дает один из простейших примеров неньютоновской жидкости. В этом приближении

причем коэффициент С имеет порядок — линейная комбинация вторых производных и произведений первых производных от гидродинамических величин р, Т, v.