127. Обратный оператор.

Важным в теории операторов является понятие обратного оператора понятие обратной матрицы в III). Это понятие может быть определено различным образом. Цель настоящего параграфа — дать различные определения обратного оператора.

В этом параграфе, как и выше, линейным оператором мы будем называть дистрибутивный, ограниченный оператор, заданный на всем Н.

Определение. Говорят, что линейный оператор А имеет ограниченный обратный оператор В, если В — ограниченный оператор, определенный во всем Н, и

где Е — оператор тождественного преобразования. Ограниченность оператора В определяется обычным неравенством . Нетрудно видеть, что ограниченный обратный оператор может быть только один. Действительно, если мы имеем , то, умножая слева на В, пользуясь (53) и принимая во внимание, что и

, получим . Определенный выше оператор В обозначается обычно символом и мы имеем

Напишем формулу

Поскольку определен во всем Н, мы можем применить к обеим частям оператора и получим

Отсюда видно, что если А имеет ограниченный обратный оператор , то А производит биоднозначное преобразование пространства И в себя, т. е. любому элементу и соответствует, согласно (55), определенный элемент у, и, наоборот, любому элементу и соответствует определенный элемент который определяется формулой (56). Точно так же и преобразует Н биоднозначно в себя. Из дистрибутивности А вытекает, что и дистрибутивный оператор, т. е. линейный оператор. Из (54) непосредственно следует, что

Можно дать более общее определение обратного оператора. Отметим прежде всего, что, в силу дистрибутивности линейного оператора, множество элементов у, определяемых формулой (55), есть некоторый линеал, который мы обозначали . Укажем теперь то свойство, которым должен обладать оператор А для того, чтобы соответствие между элементами из М и элементами у из R (А) было биоднозначным. В силу формулы (55), любому из И соответствует определенный элемент у из R (А). Нам надо, чтобы и, наоборот, любому элементу у из R (А) соответствовал определенный элемент из Н. Пусть два различные элемента из , а соответствующие элементы из R (А):

Вычитая, получим

Если бы оказалось, что т. е. что различным элементам и из Н соответствует один и тот же элемент из R (А), то мы получим т. е. уравнение

должно иметь решения, отличные нулевого элемента. Наоборот, если уравнение (58) имеег решение отличное от нулевого, то различным элементам соответствует один и тот же

элемент Таким образом, для того чтобы, согласно формуле (55), имелось биоднозначное соответствие между элементами из И и элементами у из R (А), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (58) имело только нулевое решение. При этом в линеале определен оператор Б, обратный А. Он переводит элемент у из R (А) в элементы из Н так, что у выражается через формулой (55). Этот оператор мы будем называть просто обратным оператору А в отличие от ограниченного обратного, который мы определим выше. Оператор Б определен только на линеале который может и не совпадать с И, и мы ничего не можем утверждать относительно ограниченности Б. Но, в силу дистрибутивности А, можем утверждать, что есть дистрибутивный оператор на линеале Обозначая Б прежним символом можем написать если если

Мы докажем дальше, что если уравнение (56) имеет только нулевое решение и есть все Н, то вышеуказанный оператор ограничен, т. е. А имеет ограниченный обратный [ср. 97].

Положим, что оператор А имеет ограниченный обратный оператор, и в равенствах (53) перейдем к сопряженным операторам

Отсюда следует формула

Формула (53) требует, чтобы ограниченный оператор Б был обратным для А как слева, так и справа, и в этом случае мы его называли просто ограниченным обратным оператором.

Рассмотрим теперь вопрос об ограниченных обратных операторах только слева или только справа.

Мы говорим, что оператор А имеет ограниченный обратный слева, или просто обратный слева, если существует такой, линейный оператор что Точно так же, если то С называется ограниченным обратным справа.

Теорема 1. Если А имеет по крайней мере один обратный Б слева и по крайней мере один обратный С справа, то имеется только один обратный слева, только один обратный справа и они совпадают, т. е. существует ограниченный обратный оператор

По условию и откуда следует, что Левые части написанных равенств совпадают, а потому т. е. всякий левый обратный совпадает со всяким правым обратным, а потому может иметься только один левый обратный и только один правый обратный.

Теорема 2. Если существует единственный левый обратный, то существует и правый обратный. Если существует

единственный правый обратный, то существует и левый обратный. В обоих случаях оба обратных единственны и совпадают (по теореме 1).

Докажем первое утверждение теоремы. Пусть имеется единственный обратный оператор В слева, т. е. Умножая слева на А, получим АВА или причем нуль в правой части обозначает оператор аннулирования. Добавляя к обеим частям можем написать . Но по условию В является единственным обратным слева, а потому , откуда т. е. В является обратным и справа.

Отметим еще, что если А имеет два различных обратных оператора В и С слева (или справа), то имеется бесчисленное множество обратных операторов слева. Действительно если и то нетрудно проверить, что оператор при любом выборе числа а будет обратным слева:

Из предыдущих результатов следует, что мыслимы следующие четыре случая:

I) существует единственный обратный слева и справа;

II) не существует обратных ни слева, ни справа;

III) существует бесконечное множество обратных слева и ни одного справа;

IV) существует бесконечное множество обратных справа и ни одного слева.

В дальнейшем мы увидим, что могут осуществляться все указанные случаи. Сейчас мы дадим простой теоретический критерий, при помощи которого можно различить эти случаи. Рассмотрим самосопряженные положительные (неотрицательные) операторы и . Нижние границы этих операторов, которые мы обозначим через больше нуля или равны нулю [126]. Положим, что существует по крайней мере один обратный слева: и пусть есть норма В. Мы имеем и, с другой стороны, откуда следует

При этом и, следовательно,

Покажем теперь, что и наоборот, если , то А имеет ограниченный обратный слева. В дальнейшем покажем, что если нижняя граница самосопряженного оператора F положительна, то F имеет ограниченный обратный оператор [129]. Применяя это к видим, что существует такой ограниченный оператор что откуда и следует, что есть ограниченный обратный слева для А. Точно так же, для того, чтобы существовал по крайней мере один ограниченный обратный справа, необходимо и достаточно, чтобы .

Из этих рассуждений непосредственно следует, что для осуществления указанных выше четырех случаев необходимы и достаточны условия:

Отметим, что если А коммутирует с (например, , т. е. А — самосопряженный оператор), то случаи III и IV не могут иметь места. Принимая во внимание формулы (51) и (52), можем сформулировать результат в первом случае следующим образом: для того чтобы существовал обратный оператор слева и справа, необходимо и достаточно существование такого положительного числа , что для любого элемента имеют место неравенства: . Во всем сказанном выше мы нигде не использовали дистрибутивности операторов В и С. Важно лишь, что они определены во всем Н и ограничены. В случае I единственный обратный слева и справа оператор есть, как мы видели выше, обязательно линейный оператор. В случае III имеется линейный оператор обратный слева и аналогично в случае IV. В дальнейшем мы будем иметь дело с обратным дистрибутивным оператором определенным на R (А). Отметим еще, что если то и, следовательно, если для А имеет место случай III, то для А имеет место случай IV.

Обратные операторы играют основную роль при решении уравнения , где у — заданный и искомый элементы. Если существует обратный оператор В слева, то, умножая обе части уравнения на получим обязательное равенство т. е. при наличии обратного оператора слева решение, если оно есть, представимо в виде и потому единственно. Если же существует обратный оператор С справа, то, подставляя в уравнение очевидно, удовлетворим ему, т. е. существование обратного оператора справа гарантирует существование решения .