148. Степенные ряды. Радиус сходимости.

Весьма важный пример приложения изложенной выше теории рядов с переменными членами представляют степенные ряды, т. е. ряды вида:

с которыми мы уже встретились при исследовании формулы Маклорена. Подробное изучение свойств этих рядов относится к теории функций комплексной переменной, а потому здесь мы укажем только самые основные свойства.

Первая теорема Абеля. Если степенной ряд (67) сходится при некотором значении то он сходится абсолютно при всех значениях для которых

Наоборот, если он расходится при то расходится и при всех значениях для которых

Пусть сперва ряд

сходится, тогда общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю, т. е.

а потому можно найти такую постоянную М, чтобы при всех значениях мы имели

Придадим теперь любое значение, удовлетворяющее условию (68), и положим

Мы имеем, очевидно

т. е. общий член ряда (67) при рассматриваемом значении по абсолютной величине не превосходит общего члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а потому ряд (67) сходится абсолютно [124].

Вторая часть теоремы очевидна, так как если бы ряд (67) сходился при некотором значении удовлетворяющем условию (69), то по доказанному сейчас он должен был бы сходиться при всяком , для которого что противоречит условию.

Следствие. Существует вполне определенное число R, которое называется радиусом сходимости ряда (67) и которое обладает следующими свойствами:

В частности, может оказаться, что и тогда ряд (67) расходится при всех значениях отличных от нуля, или же и тогда ряд (67) сходится при всех значениях

Отбросив первый случай, рассмотрим такое положительное значение при котором ряд (67) сходится. Такое значение наверное существует, если, вообще, существуют значения при которых ряд (67) сходится. Если мы будем увеличивать число , то могут встретиться лишь два случая: или все время ряд (67) будет оставаться сходящимся при даже когда увеличивается беспредельно; тогда мы имеем, очевидно, или же будет существовать такое постоянное число А, которое обладает тем свойством, что при всех ряд (67) сходится, но при ряд делается расходящимся.

Существование такого числа А интуитивно-геометрически вполне очевидно, так как на основании первой теоремы Абеля, если ряд при каком-нибудь значении сделается расходящимся, то он будет расходиться и при всех больших значениях. Строгое доказательство существования числа А может быть проведено на основании теории иррациональных чисел. Очевидно, что это число А и будет радиусом сходимости R ряда (67).

Проведем доказательство существования R. Разобьем все вещественные числа на два класса следующим образом: к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и такие положительные числа 6, что ряд (67) сходится при а ко второму классу отнесем все остальные вещественные числа. В силу доказанной теоремы любое число первого класса меньше любого числа второго класса, т. е. мы произвели сечение в области вещественных чисел, а потому или в первом классе есть наибольшее число или во втором есть наименьшее число [40]. Нетрудно видеть, что это число и будет радиусом сходимости R ряда. Если все числа попадут в первый класс, то надо считать .