1.3. Общие теоретические основы описания взаимодействия световых импульсов с атомными системами

В разд. 1.1 мы уже указывали на то, что описание процессов взаимодействия с помощью скоростных уравнений не во всех случаях дает их адекватную характеристику. Напротив, квантовомеханическое описание атомных систем и электромагнитного поля представляет общую основу, опираясь на которую можно описать любые процессы взаимодействия. Однако для большинства явлений уже полуклассическое описание приводит к результатам, хорошо совпадающим с эмпирическими данными. При этом атомная система описывается квантовомеханически, тогда как описание поля излучения основывается на классических уравнениях Максвелла. Такой метод расчета подходит для описания полей излучения большой мощности до тех пор, пока мы не будем интересоваться деталями возникновения волн из спонтанного процесса, из шума (см. по этому поводу, например, [11, 30]).

1.3.1. Волновое уравнение

Для описания электромагнитного поля мы воспользуемся классической теорией Максвелла. При этом электрическое поле в оптической среде с магнитной проницаемостью и

электропроводностью может быть вычислено с помощью волнового уравнения

(см., например, [1.15, 1.16]). При этом для описания линейных и нелинейных оптических процессов решающее значение имеет знание поляризации. Под действием внешнего поля в молекулах индуцируются дипольные моменты (как это уже объяснялось в что влечет за собой возникновение дополнительных электрических полей. При этом поляризация среды, вообще говоря, зависит от поля и определяется свойствами среды, с которой это поле взаимодействует. Как обычно принято, мы выделим в полной поляризации член линейно зависящий от напряженности поля и возникающий вследствие нерезонансного взаимодействия среды с электрическим полем:

складывается из линейного резонансного члена и из нелинейного вклада Фурье-образ от может зависеть от фурье-образа напряженности поля :

Величина представляет собой линейную оптическую диэлектрическую проницаемость вещества на частоте со в пренебрежении вкладом от возможного резонансного перехода на частоте . В то время как лишь медленно изменяется с частотой, резонансный вклад вблизи сильно зависит от .

Электромагнитное поле обычно представляют в виде суперпозиции различных квазимонохроматических и квазиплоских волн:

По сравнению с быстро осциллирующими во времени и в пространстве экспоненциальными функциями амплитудные функции лишь слабо зависят от времени и от координат; означает относящийся к каждой парциальной волне единичный вектор поляризации. Мы встречаемся здесь с обобщением понятий плоской монохроматической волны с постоянной комплексной амплитудой Слабая пространственно-временная

зависимость амплитудной функции может служить для описания конечного времени существования поля излучения и конечной ширины спектральной линии. Примером такого поля излучения является волновой пакет, показанный на рис. 1.9.

Поляризация среды колеблется приблизительно с теми же частотами, что и создающее ее поле. Поэтому по аналогии с полем мы можем представить в виде

Для дальнейшего описания выберем систему координат таким образом, чтобы среда занимала полупространство с , а волны распространялись в направлении

Рис. 1.9. Огибающая и несущая волнового пакета.

При таком предположении часто возможно пренебречь зависимостью амплитудных функций от х и у и учитывать только их изменения в направлении распространения и со временем. Это означает, что поперечные сечения распространяющихся волновых пакетов не изменяются, а различные компоненты поля приближенно можно считать распространяющимися коллинеарно. Подставим выражения (1.45) и (1.46) в волновое уравнение (1.42). Вследствие упомянутой быстрой осцилляции отдельных экспоненциальных функций каждый член в сумме должен приближенно обращаться в нуль, чтобы волновое уравнение выполнялось при всех значениях и

Тогда для амплитудной функции получаем (при

В соответствии с (1.43) выделим в поляризации линейную и нелинейную компоненты, причем вплоть до первого порядка должна учитываться дисперсия. Разложим в точке подставим в (1.44) и выполним обратное преобразование к временному представлению. В результате получим

Мы ввели здесь линейную восприимчивость Величины можно преобразовать к виду

где введены фазовая скорость групповая скорость и обратная дисперсия групповой скорости Пользуясь (1.43) и (1.48), получим из (1.47)

где

При выводе формулы (1.50) мы приняли во внимание соотношения

Рассмотрим теперь развитие импульса в системе координат, движущейся вместе с центром импульса Амплитудная функция изменяется медленно по сравнению с быстро осциллирующей экспоненциальной функцией в (1.45). Поэтому мы можем предположить, что соблюдаются дополнительные условия

Тогда входящими в уравнение (1.50) членами можно пренебречь, и вместо (1.50) получим

При очень коротких импульсах и очень длинных образцах пропорциональный член в (1.50) описывает изменение формы импульса уже без воздействия нелинейной поляризации. Такое изменение происходит при условии, что длина образца превышает некоторое критическое значение При наиболее часто встречающихся условиях длина образца бывает мала по сравнению с так что членом с второй производной по можно пренебречь. Все допущенные при получении уравнения (1.50) приближения вместе взятые принято называть приближением медленно изменяющихся амплитуд или огибающих (по английской терминологии — Slowly Varying Envelope Approximation, SVEA). Однако при распространении очень коротких импульсов на больших оптических путях эти условия могут нарушаться (т. е. будет справедливо соотношение . В этом случае необходимо учитывать второй член в левой части уравнения (1.50) (ср. разд. 8.3).