2.3. Оптические резонаторы

2.3.1. Аналогия между открытым и закрытым резонаторами

В этом разделе мы рассмотрим обратную связь для излучения в пассивном оптическом резонаторе. Такой резонатор обычно является открытым, т. е. в соответствии с рис. 2.1 у него нет боковых стенок, а имеются только два расположенных друг против друга зеркала. Приближенно, однако, открытый резонатор, образованный двумя плоскими зеркалами, можно заменить при расмотрении закрытым, имеющим форму прямоугольного параллелепипеда с идеально отражающими стенками. Будем считать ось направленной по его длине (полная длина равна а оси х и у направим по сторонам квадратного поперечного сечения (длина стороны 2а). Волновые поля в таком резонаторе вблизи его оси лишь мало отличаются от соответствующих полей открытого реального лазерного резонатора. Как известно, для идеального полого резонатора решение волнового уравнения с учетом граничных условий имеет вид стоячих волн.

Налряженность их электрического поля выражается следующими равенствами:

Компоненты волнового вектора определяются из граничных условий и имеют вид

— положительные целые числа. Собственные частоты резонатора образуют дискретный спектр:

Соответствующие этим частотам собственные колебания резонатора называют также модами. Очевидно, что для параксиальных лучей откуда следует неравенство . При этом условии мы можем из (2.26) получить приближенно

Из (2.27) сразу видно, что частотное расстояние между двумя модами с одинаковыми значениями и ту и с различающимися на единицу значениями приближенно равно

Такие моды различаются только зависимостью распределения от Поэтому разность частот называют также межмодовым расстоянием для двух соседних аксиальных мод. В отличие от этого разность частот двух мод с одинаковыми значениями и с различающимися на единицу значениями или ту называют межмодовым расстоянием для двух соседних поперечных мод, поскольку они различаются только зависимостью распределения поля от или у. Из (2.27) получим, например, для двух мод, различающихся на величину

где есть безразмерное число, называемое числом Френеля. Для реальных лазерных систем часто так что частотное расстояние поперечных мод намного меньше, чем продольных.

До сих пор мы рассматривали все принципиально возможные моды в лазерном резонаторе. Конечно, не всегда возбуждаются все моды, задаваемые соотношением (2.26). Например, в лазере появляются только те моды, которые могут одновременно усиливаться активной средой. Поскольку межмодовое расстояние для двух аксиальных мод при длине резонатора согласно (2.28), по порядку величины равно си 108 Гц, а ширина линии лазерных переходов в различных активных средах лежит в пределах от Гц (в газах при низком давлении) до Гц (в красителях и твердых телах), то возможен и такой случай, когда в зависимости от типа лазера в лазерном резонаторе может усиливаться лишь малое число аксиальных мод; но в других случаях число усиливающихся мод может достигать и нескольких десятков тысяч. При многих применениях бывает необходимо работать, лишь с определенным, по возможности малым числом мод или даже с одной единственной модой. Для поперечных мод это достигается сравнительно просто благодаря различиям в дифракционных потерях. Например, в резонаторе можно поместить дополнительную диафрагму, чем создается большое возрастание дифракционных потерь высших поперечных мод. Селекцию отдельных аксиальных мод можно выполнить с помощью, например, такого селектора частоты, каким является дополнительный эталон Фабри—Перо. Напротив, для генерации ультракоротких световых импульсов следует всемерно увеличивать числсь аксиальных собственных колебаний. Это требует применения материалов, обладающих возможно более широким спектральным контуром усиления, поскольку в этом случае можно избежать подавления аксиальных мод, обусловленного спектральной зависимостью коэффициента усиления.

Согласно выражению для напряженности поля (2.24), собственные колебания в резонаторе не затухают в течение сколь угодно длительного времени. Однако в реальном открытом резонаторе имеют место потери вследствие дифракции и при прохождении части излучения хотя бы через одно из зеркал, и поэтому интенсивность колебаний убывает с течением времени. Сначала мы опишем эти потери с феноменологической точки зрения, исходя из аналогии описания резонатора и реальных механических осцилляторов или реальных электрических колебательных контуров. На основании таких представлений затухание излучения можно учесть, записывая компоненту напряженности поля для каждой моды в виде произведения

зависящей от координат функции моды и зависящего от времени коэффициента так что

и добавляя в дифференциальное уравнение для член учитывающий затухание:

Величина называется временем релаксации поля в резонаторе.

Рис. 2.3. Электрический резонансный контур. — индуктивность; С — емкость; — омическое сопротивление.

Мы предположим, что в течение одного периода колебаний потери на затухание невелики, и потребуем, чтобы соблюдалось неравенство Тогда из решения (2.31) видно, что затухание происходит по экспоненциальному закону:

Такое описание одномодового поля соответствует рассмотрению эквивалентного электрического колебательного контура с омическим сопротивлением (рис. 2.3). Амплитуда колебаний в этом контуре также убывает по экспоненциальному закону с временной постоянной Изменение накопленной в контуре энергии описывается формулой

Потери в колебательных контурах и на модах резонатора часто характеризуются добротностью резонатора

(Согласно более общему определению, добротность системы определяется числом колебаний, после которых запасенная в системе энергия понижается на часть.) В пространстве частот мода теперь характеризуется не одним значением частоты, а резонансной линией с конечной полушириной При экспоненциальном законе затухания форма этой линии является лоренцевой. Вычислим ее полуширину. Пусть в момент времени

амплитуда колебаний электрического поля равна Е. Тогда в момент времени поле определяется выражением , где Фурье-образ есть

и спектральная плотность

откуда следует

Если имеется несколько причин, вызывающих потери, и каждая из них влечет за собой экспоненциальный закон затухания энергии резонатора, то эффективное полное затухание также может быть описано простой экспоненциальной зависимостью. Тогда для полной добротности получим

Соответственно складываются и вклады в ширину линии. В металлическом полом резонаторе такие потери могут возникать вследствие конечной электропроводности стенок, а также из-за утечки энергии через отверстия. Как уже было показано, в открытом двухзеркальном резонаторе происходит утечка энергии через зеркала с коэффициентом отражения а также мимо зеркал; кроме того, энергия поля в резонаторе убывает за счет внутренних потерь. Ниже мы характеризуем эти потери в зависимости от параметров резонатора.