7.2. Теория

7.2.1. Основные уравнения

Важным отличием твердотельных лазеров с пассивной синхронизацией мод от описанных выше типов лазеров является невозможность достижения стационарного импульсного режима и существенно другие по порядкам величин отношения между различными временными параметрами системы. Время жизни возбужденного лазерного уровня в твердотельной среде (составляющее десятки и даже сотни микросекунд) сильно

превышает время прохода резонатора и (составляющее наносекунды),

в то время как насыщающийся поглотитель должен очень быстро возвращаться путем релаксации в основное состояние. Длительность импульса больше времени релаксации или одного порядка с ним:

Для упрощения предположим, что относительное изменение интенсивности лазерного излучения за один проход мало:

Здесь К — число проходов резонатора. Переменная при этом ограничена временем прохода резонатора и . Рассмотрим теперь изменение параметров излучения после прохода через усилитель, поглотитель и отражения от зеркала, взяв за основу расположение элементов, аналогичное изображенному на рис. 6.3. Мы здесь не будем вводить специальный частотно-селективный элемент, но зато учтем конечную спектральную ширину лазерного перехода. Для описания процесса генерации в четырехуровневой системе твердотельного лазера при условии, что преобладает однородное уширение линии, мы можем воспользоваться уравнениями (4.1) — (4.3) (лазер на (К системам с неоднородно уширенной линией многие из сделанных ниже выводов приложимы в некотором приближении.) Для исследования развития импульса из шума, согласно выводам гл. 1, в уравнение (4.2) следует ввести стохастический член описывающий флуктуации в среде. Согласно условию (7.1), можно считать, что за время одного прохода изменения населенностей малы, как это уже было сделано в разд. 4.2 . С учетом стохастических флуктуаций получим вместо соотношения (4.5)

где С учетом условия (7.3) решение уравнения (7.4) может быть найдено путем последовательных приближений. Тогда напряженность поля и населенность верхнего лазерного уровня в позиции 1 (расположение отдельных элементов резонатора выбрано таким же, как на рис. 6.3)

зависит от соответствующих величин в позиции 0 следующим образом:

где для сокращения введены натуральный логарифм усиления за один проход параметр накачки а также усредненная за проход резонатора интенсивность

ниже для упрощения мы будем величину называть «усилением». Изменение напряженности поля насыщающимся поглотителем с учетом условия (7.2) описывается следующими соотношениями:

где введена интенсивность насыщения поглотителя Уравнение (7.7) также решается методом последовательных приближений:

где (Величина есть натуральный логарифм от коэффициента передачи для слабого сигнала за двойной проход.)

Изменение напряженности поля при обратном проходе через поглотитель и усилитель не отличается от изменения при прямом проходе и поэтому может быть учтено заменой на на Наконец, следует учесть потери при отражении от зеркала:

Константа у учитывает здесь линейные потери за один проход. Комбинируя соотношения (7.5), (7.9) и (7.10) и учитывая равенство получим для напряженности поля рекуррентную формулу. В соответствии с условием (7.3) запишем и преобразуем эту формулу в дифференциальное уравнение. В целом для описания твердотельных лазеров с пассивной синхронизацией мод мы получим таким путем следующую систему уравнений для амплитуды напряженности поля и нормированного усиления а при проходе:

означает здесь скорость накачки, выраженную в единицах времени прохода и. Для четырехуровневой системы она, согласно (7.6), определяется выражением

в то время как для трехуровневой системы (рубиновый лазер)

Для сокращения записи здесь было введено обозначение а при написании (7.14) использовалось неравенство

Уравнение (7.11) определяет изменение комплексной амплитуды напряженности поля за К проходов. Члены, пропорциональные а описывают усиление излучения в активной среде, причем производные по времени в квадратных скобках учитывают влияние на временное описание конечной спектральной ширины лазерного перехода. Слагаемое, пропорциональное 7, описывает линейные потери на зеркале, в то время как член, пропорциональный выражает потери в насыщающемся поглотителе, которые существенно снижаются при высоких интенсивностях поля излучения. Наконец, величина характеризует флуктуации шумового излучения, из которого развивается лазерное излучение. Изменение усиления а согласно (7.12), определяется скоростью накачки Р,

описывающей восстановление инверсии населенностей излучением накачки, и насыщением активной среды. В частности, из (7.12) следует, что после начала лазерной генерации усиление активной среды начинает снижаться под действием полной энергии поля излучения.

Скорость накачки Р после достижения порога генерации лазера в течение процесса формирования импульсов может считаться постоянной, так как этот процесс протекает за малое по сравнению с длительностью накачки время.

Для более точного расчета значения Р до момента превышения порога генерации лазера надо учитывать изменения во временной зависимости и время, необходимое для достижения порога генерации. Временную зависимость усиления а ниже порога генерации мы найдем, например, для трехуровневого лазера из (7.12) и (7.14):

Из (7.15) сначала вычисляется пороговое значение величины достаточное для достижения порога генерации лазера в конце процесса накачки Если принять, что импульс накачки длительностью имеет гауссову форму

то из (7.15) следует

Значение должно быть выбрано несколько большим, чем чтобы при конечном числе проходов достигалось положительное усиление: Для этого значения следует рассчитать момент времени при котором превышается порог. Из (7.14) с привлечением (7.16) получим соотношение

где есть функция ошибок.

Тогда найдем для скорости накачки в момент превышения порога генерации лазера

Выбирая в качестве примера превышение над порогом

для получим скорость накачки а для пор получим Расчет скорости накачки для четырехуровневого лазера проводится аналогичным образом, однако при этом надо учитывать влияние релаксации в течение процесса накачки. Используя неравенство получим вместо

Для скорость накачки оказывается равной а для получаем