5.2. Теория

5.2.1. Основные уравнения

Процесс установления импульсного режима генерации в синхронно накачиваемых лазерах может быть разделен на три различные фазы, аналогичные фазам установления активной синхронизации мод и пассивной синхронизации мод в лазерах на красителях. В течение первой фазы усиления из шумового сигнала образуется импульс, энергия которого с каждым проходом резонатора растет, а длительность уменьшается.

Рис. 5.2. Схема лазера с синхронной накачкой. — глухое зеркало; — выходное зеркало с коэффициентом отражения последовательные позиции импульса на пути обхода им резонатора.

После определенного числа проходов энергия импульса достигает максимума. Затем во время второй фазы происходит дальнейшее укорочение импульса до достижения стационарного значения его длительности. За время последней фазы окончательно устанавливается относительное расположение импульсов генерации и накачки. После этого длительность импульса, его энергия и положение относительно импульса накачки остаются неизменными. Параметры импульса в стационарном режиме при условии, что параметры лазера удовлетворяют определенным требованиям синхронизации мод, не зависят от предшествующего процесса установления и могут быть найдены без расчета этого процесса. Поэтому при теоретическом рассмотрении мы ограничимся стационарным непрерывным режимом. При этом мы будем в основном следовать работам Хермана и Мотшмана [5.11, 5.12] Ч

Рассмотрим лазер с линейным резонатором, содержащим краситель в качестве активной среды и частотно-селективный элемент для перестройки частот (рис. 5.2). Пусть активная

среда является четырехуровневой (см. рис. 2.2, б) и накачивается последовательностью импульсов от другого лазера с активной синхронизацией мод. Тогда для описания напряженности поля в активной среде и атомной системы можно вновь исходить из уравнений Далее предположим, что выполняется ограничивающее неравенство (5.1) и что ширина линии усиления красителя велика по сравнению с шириной полосы частотно-селективного элемента и шириной спектра лазерного импульса. Это позволяет пренебречь ограничением ширины полосы, вызванным активной средой и частотной зависимостью излучательного сечения по сравнению с ограничением, вызванным оптическим фильтром, и составить на основании уравнений (4.1) и (4.2) уравнение, аналогичное (1.71) (в котором следует заменить на Вместо комплексного уравнения (1.71) получим для интенсивности и фазы лазерной волны следующие уравнения:

Далее при условии (5.1) получим из (4.3)

и для интенсивности излучения накачки

Множитель в (5.26) учитывает возможное отличие средней частоты спектра излучения лазера (определяемое установкой оптического фильтра) от частоты, соответствующей максимуму линии люминесценции

В системе уравнений (5.2) считалось, что групповые скорости импульсов накачки и лазера одинаковы что позволяет ввести общую координату времени Это допустимо для усилителей достаточно малой длины, типичных значений коэффициента дисперсии и длительностей импульсов

Введем дополнительно новую функцию

подставим ее в (5.2а) и (5.2г) и проинтегрируем по 2. Таким образом, получим

Здесь — неизвестные функции, которые определяются граничным условием при Подставим (5.3) в (5.2в), учтем (5.2а) и (5.2г) и проинтегрируем по 2. Это позволяет получить для следующее уравнение:

Зная граничные условия можно из (5.6) найти функцию

Подставляя в (5.6) соотношения (5.4) и (5.5) и исключая получим окончательно

Уравнение (5.8) мы будем решать для двух частных случаев, рассмотрение которых достаточно для анализа процесса образования импульсов. Эффективное преобразование энергии накачки в энергию излучения лазера требует обеспечения возможно большего значения экстинкции Например, для реальных величин мм получим Это позволяет пренебречь вторым слагаемым в (5.8) и получить решение

Частное решение для произвольных значений может быть найдено при условии, что

Ниже главным образом будет использоваться решение (5.9). Решение (5.10) позволит проверять результаты при малых значениях

В точке 1 на рис. 5.2 интенсивность

и фаза лазерной волны

причем здесь введено эффективное усиление

которое, в частности, учитывает потери, связанные с излучением, проходящим через зеркало с коэффициентом отражения Проход через частотно-селективный элемент удобно описать на спектральном языке:

Передаточная функция как уже указывалось, для многих практических случаев, например для эталона Фабри—Перо вблизи максимума на частоте описывается лоренцевой кривой

Ширина полосы при этом, согласно (2.40), определяется равенством где — коэффициент отражения, толщина базы эталона Фабри—Перо. Осуществляя для перехода к временному описанию обратное

(кликните для просмотра скана)

В стационарном режиме импульс после каждого прохода резонатора должен сам себя воспроизводить. Это требование выражается условием

Подставляя (5.16) в (5.17), получим для нахождения стационарной формы импульсов систему интегродифференциальных уравнений. Величина введена для учета возможного смещения максимума, обусловленного процессом усиления и проходом через частотно-селективный элемент. Усилитель смещает максимум вперед в то время как в частотно-селективном элементе импульс задерживается так что Следовательно, как и при активной синхронизации мод, эффективное время и прохода импульсом резонатора в результате действия усилителя и частотно-селективного элемента отличается от времени прохода пустого резонатора на величину Следовательно, для получения режима синхронизации период следования импульсов накачки должен удовлетворять равенству (при частоте модуляции (от лазера с активной синхронизацией мод в случае амплитудной модуляции и в случае фазовой модуляции

Часто вместо временного сдвига вводят эквивалентное изменение длины резонатора

которое называют расстройкой резонатора. Сначала исследуем случай малых отстроек средней частоты спектра излучения лазера от частоты максимума линии люминесценции Решение уравнения (5.166) в этом случае соответствует постоянной фазе что говорит об отсутствии фазовой модуляции импульсов. Случай возникновения «чирпа» (фазовой модуляции) при условии мы обсудим отдельно в Для упрощения интегрального уравнения (5.17) можно принять, что ширина спектра импульса мала по сравнению с полосой пропускания частотно-селективного элемента и что временной сдвиг мал по сравнению с длительностью импульса. В рамках этого допущения (5.16) и (5.17) заменяются следующим приближенным уравнением:

Точное аналитическое решение этого уравнения невозможно. Поэтому мы разложим вблизи максимума в степенной ряд. С другой стороны, на крыльях импульса усиление приблизительно постоянно, так как в этой области оно зависит лишь от медленно меняющегося импульса накачки Решение (5.18) при имеет вид экспоненциальной функции. Поэтому в целом решение можно представить в следующем виде:

Рис. 5.3. а, б.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 5.3. а—д — параметры импульса, е - временной сдвиг между импульсами иакачки и лазерного излучения в зависимости от расстройки резонатора и коэффициента отражения Параметры: кривая кривая кривая кривая кривая кривая

Решения для трех временных интервалов сшиваются в точках являющихся корнями уравнения — меры длительности импульса и его асимметрии, а — плотность потока фотонов в максимуме импульса. Длительность импульса определяется как Для приблизительно симметричных импульсов Мы будем считать (в соответствии с результатами анализа активной синхронизации мод в предыдущем разделе), что импульс накачки является гауссовым импульсом, максимум которого смещен относительно максимума лазерного импульса на

Подставим выражения (5.19) в уравнение (5.18) и приравняем коэффициенты при Так как в оба полученные таким путем уравнения входят полная энергия и энергия импульса до достижения максимума то проинтегрируем уравнение (5.18) один раз от до и второй раз от до Таким путем мы вновь получим два уравнения. Связь между параметрами лазера и можно найти, используя решение (5.19) и интегрируя по соответствующему

интервалу времени. Таким образом, получим шесть взаимосвязанных трансцендентных уравнений для шести неизвестных величин: (нормированная стационарная энергия импульса), (нормированная энергия до достижения импульсом максимума), интенсивность), (параметр асимметрии), (длительность импульса) и (временной сдвиг между максимумами

Рис. 5.4. (см. скан) а, б.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 5.4. а-д - параметры импульсов, е - временной сдвиг между импульсами накачки и лазерного излучения в зависимости от расстройки резонатора и энергии накачки.

Параметры: кривая кривая кривая кривая

импульсов накачки и лазерного). Перечисленные величины являются функциями (временного сдвига), (коэффициента отражения выходного зеркала), (нормированной полной энергии накачки) и (длительности импульса накачки). Эти шесть трансцендентных уравнений решались численным методом. Результаты решения представлены на рис. 5.3 и 5.4. Перейдем к анализу каждого решения в отдельности.