7.2.3.2. Влияние снятия инверсии населенностей в активной среде

Выведенные в предыдущем разделе уравнения при определенных условиях, налагаемых на параметры лазера, хорошо описывают свойства максимального импульса. Если требуется, однако, определить более точно условия синхронизации мод, т. е. условия формирования моноимпульса и подавления остальных импульсов, то в нелинейной фазе необходимо учесть процесс снятия инверсии населенностей в активной среде. Процесс генерации в твердотельных лазерах с пассивной синхронизацией мод моделировался в ряде работ на ЭВМ. При этом процесс снятия инверсии населенностей учитывался различным образом [7.7-7.10, 7.41-7.44]. Однако при таком описании сталкиваются

с трудностью, вызванной статистическим характером процесса генерации импульсов. Существенную роль в процессе снятия инверсии населенностей в течение линейной фазы играет полная интенсивность шумов. В зависимости от случайного распределения интенсивности за время линейной фазы могут генерироваться один или несколько импульсов. Поэтому для определения вероятности образования двойных импульсов надо смоделировать и для каждого лазерного выстрела в отдельности рассчитать статистику начального распределения значений интенсивностей наибольших флуктуационных выбросов соответственно их статистическому весу. Это сильно затрудняет подбор и оптимизацию лазерных параметров. По этой причине мы используем приближенный метод решения задачи, допускающий аналитическое решение [7.13]. Разделим нелинейную фазу на две части. В течение первой части, непосредственно примыкающей к линейной фазе (область IIа на рис. 7.1), интенсивность еще мала по сравнению с интенсивностью насыщения поглотителя Это позволяет учесть потери на поглощения следующим образом: где В течение второй части нелинейной фазы на рис. 7.1) надо использовать более точную форму учета нелинейного поглощения к Как мы увидим, в обеих частях уменьшение усиления мало по сравнению с пороговым усилением так как лазер накачивается лишь до незначительного превышения порога. Однако мы убедимся в том, что даже малое изменение усиления может оказать на процесс синхронизации мод существенное влияние. Первая часть нелинейной фазы при сделанных допущениях может быть описана уравнениями

где и использовано неравенство . В уравнении (7.46) мы пренебрегли членом, учитывающим накачку Р. Конец линейной фазы определяется, таким образом, условием что требует, согласно (7.27), задания Вводя новую переменную к решение уравнения (7.45) можно записать в виде

Это выражение имеет смысл, лишь если интенсивность самого интенсивного флуктуационного выброса удовлетворяет условию определяет конец первой части нелинейной фазы). Однако так как интенсивность максимального импульса превышает среднюю интенсивность 7 (Ко) от четырех до восьми раз (множитель рмакс меняется от 4 до 8), то решение уравнения может быть разложено в степенной ряд. При расчете общего коэффициента разложения следовало бы учесть, что величина определена лишь на конечном временном интервале в результате чего статистическое среднее и среднее по времени переменных сильно различаются. Однако до значения эти величины хорошо соответствуют друг, другу, что позволяет, учитывая гауссово распределение напряженности поля, положить Полученное таким путем из (7.47) соотношение для мы подставим в (7.46). Учитывая связь между найдем следующее уравнение для

Уравнение (7.48) может быть проинтегрировано с учетом начальных условий -

Это уравнение может быть решено методом разделения переменных. В последующем расчете мы используем, однако, лишь функциональную зависимость от

Если в результате снятия инверсии населенностей в активной среде оказывается, что то флуктуации интенсивности, удовлетворяющие неравенству подавляются (так как имеет место неравенство Напротив, флуктуации интенсивности, для которых -а/ко, усиливаются. Если для флуктуационного выброса при определенном проходе выполняется неравенство то это условие сохраняется и в течение последующих проходов. Условие следовательно, не только характеризует достижение максимальной интенсивности, но и означает конец области усиления флуктуационного выброса. Так как неравенство выполняется для всех К, то условие эквивалентно

Хотя усиление в рассматриваемом здесь интервале времени вновь снижается ниже первоначального порога усиления,

наиболее интенсивные флуктуации все же продолжают усиливаться, что обусловлено одновременным уменьшением поглощения (вследствие продолжающегося насыщения поглотителя). Более слабые по интенсивности выбросы подавляются. Слабое снятие инверсии населенностей в активной среде в комбинации с насыщением поглощения в поглотителе приводит, следовательно, к более сильной дискриминации импульсов, чем та, которую могло бы вызвать действие одного лишь насыщающегося поглотителя.

Определим теперь точнее условия, при которых усиливаются и, следовательно, выделяются максимальные флуктуационные выбросы. Для этого продифференцируем (7.47) по и приравняем производную нулю причем для воспользуемся равенством (7.49). Пронормируем флуктуационный максимум в конце линейной фазы по средней интенсивности: Тогда условие при введении может быть преобразовано к виду

где

При этом равенство (7.50) выражает тот факт, что все импульсы, интенсивность которых к концу линейной фазы равна достигают максимума при Ход кривых показан на рис. 7.2. Все импульсы, относительная интенсивность которых в конце линейной фазы превышает усиливаются. Напротив, импульсы, для которых поглощаются. Функция (2) достигает максимума рмакс При определенном гмакс. Однако в силу сделанных допущений кривая может быть использована лишь при значениях меньших т. е. при значениях, не превосходящих Эта граница соответствует границе допустимости описания развития импульсов причем в (7.47) мы полагаем (см. рис. 7.2); или соответствующее этому значению число проходов определяет конец первой части нелинейной фазы. При надо принимать во внимание точную форму зависимости коэффициента поглощения от интенсивности, которая в этой области соответствует большим потерям на поглощение, чем отвечающая приближению В результате кривая на рис. 7.2 нарастает круче, чем кривая, которая отражала бы точную форму зависимости В силу того что в области функция меняется мало,

Рис. 7.2. Зависимость критического уровня относительной интенсивности Во. и результирующего усиления ашор от Параметры: для параметров рубинового лазера (кривая 1) и для параметров лазера на стекле с неодимом (кривая 2). Параметры лазеров и поглотителей приведены в табл. 7.1. (По [7.13])

максимальные значения обеих кривых, рассчитанных для различных потерь на поглощение, различаются друг от друга незначительно. Поэтому мы можем принять за верхнюю границу дискриминации импульсов. Из (7.50) следует, что условие идентично что позволяет найти Затем из (7.49) для может быть получено уравнение

Параметры были оценены в так что равенство (7.52) зависит еще лишь от параметров лазера.