7.2.3.1. Пренебрежение изменением населенностей в усилителе

Ниже мы покажем, что длительность нелинейной фазы весьма мала по сравнению с длительностью линейной фазы и что изменение усиления за время нелинейной фазы мало по сравнению с пороговым усилением. Поэтому мы предположим, что в течение этой фазы усиление постоянно Кроме того, за время этой сравнительно короткой фазы с малым числом проходов можно пренебречь частотно-селективным действием усилителя. Это значит, что мы считаем частотнонезависимым. Тогда из (7.11) следует

Неявное решение этого уравнения для амплитуды и фазы комплексной напряженности поля может быть найдено методом разделения переменных:

где Как видно из (7.39), нелинейный характер решения не играет роли до тех пор, пока строго выполняется неравенство .

В соответствии с (7.28) это позволяет определить момент окончания линейной фазы. Считая, что нелинейная фаза заканчивается при выполнении условия означает, что максимальный импульс полностью снимает усиление), можно, исходя из (7.39), найти явное решение

Индекс 0 соответствует здесь, как и выше, окончанию линейной фазы. Так как статистическое распределение для величин

известно, то совместная плотность вероятности (7.32) позволяет вычислить корреляционную функцию напряженности поля в нелинейной фазе

где были введены переменные интегрирования и принято условие Оно хорошо выполняется в течение времени корреляции в нелинейной фазе так как Нормированная корреляционная функция

является функцией лишь величины которая от К не зависит и определяется из (7.26).

Что касается статистических свойств импульсов, то за время нелинейной фазы формируется стационарное состояние. Время корреляции интенсивности или длительность импульсов можно оценить по (7.42) при

Таким образом, за время нелинейной фазы вследствие действия насыщающегося поглотителя имеет место укорочение импульсов в раз.

До настоящего времени мы оставили открытым вопрос о том, к каким статистическим ансамблям относятся выведенные средние значения. Благодаря селектирующему действию нелинейного поглощения к концу нелинейной фазы в резонаторе остается небольшое число импульсов, а в благоприятном случае — лишь один импульс. По этой причине усреднение по времени за один проход резонатора не может идентифицироваться со статистическим средним значением и само является

величиной, меняющейся статистически. Статистическое среднее в течение фазы нелинейного поглощения может, однако, интерпретироваться как среднее значение по ансамблю экспериментов, проведенных при одинаковых условиях (это означает серию лазерных выстрелов при фиксированных параметрах системы). Среднее по времени за один проход и статистическое среднее близки лишь в течение линейной фазы. В этом можно убедиться на том основании, что дисперсия отклонения за время одного прохода от статистического среднего значения весьма мала в то время как в течение нелинейной фазы она примерно равна единице [7.12].

Длительность нелинейной фазы и можно оценить, вводя условие, согласно которому эта фаза заканчивается тогда, когда интенсивность максимального по амплитуде импульса достигает значения, в несколько раз превышающего интенсивность насыщения поглотителя где Так как связаны равенством - (7.40), то для числа проходов за время нелинейной фазы может быть найдено следующее приближенное выражение:

В заключение приведем численный пример, иллюстрирующий полученные результаты. Пусть порог генерации лазера равен апор причем Время обхода резонатора положим равным не, скорость накачки Тогда согласно приведенным в табл. 7.1 параметрам лазеров и поглотителей мы найдем для рубинового лазера: Для

Таблица 7.1. (см. скан) Параметры твердотельных лазеров и типовых насыщающихся поглотителей

лазера на стекле с неодимом, напротив, получим . В то время как найденные для рубинового лазера длительности импульсов хорошо согласуются с экспериментально измеренными, рассчитанные для лазера на стекле с неодимом значения от 2 до 10 раз меньше измеренных в максимуме цуга импульсов значений. Это расхождение определяется действием дополнительных нелинейных эффектов в стеклянных стержнях неодимового лазера (неоднородное снятие усиления, зависимость показателя преломления от интенсивности и дисперсия), приводящих к фазовой модуляции импульса и как следствие к его удлинению, что не учитывалось в расчете. Измерения длительности импульсов в начале цуга (где автомодуляция фазы еще не играет заметной роли) дают значения, отличающиеся от расчетных лишь на