2.3.4. Расчет распределения поля внутри и вне резонатора для гауссовых пучков

В случае сложных оптических схем теоретический анализ лазерного излучения внутри и вне резонатора с помощью дифракционных формул Кирхгофа оказывается довольно сложным и приводит к трудно применимым формулам. Поэтому мы опишем другой метод, в котором не учитывается дифракция, обусловленная конечными апертурами, и в то же время принимается во внимание модовая структура поля. При этом мы будем следовать [2.2] и перейдем к волновому уравнению, не содержащему время:

При исследовании светового пучка, распространяющегося в направлении выделим сильную зависимость от с помощью подстановки

Пренебрегая второй производной по от медленно меняющейся амплитуды, получим из (2.53)

Прежде всего исследуем распределения поля в основной поперечной моде , в которой А зависит только от расстояния до оптической оси. В этом случае

Для этих радиально-симметричных распределений поля сделаем подстановку

которая соответствует тому, что для радиальной зависимости напряженности поля имеет место гауссово распределение. Диаметр пучка и фаза изменяются в процессе распространения луча. Подставим теперь (2.56) в не содержащее время волновое уравнение (2.556) и потребуем, чтобы оно выполнялось отдельно для членов, пропорциональных Тогда получим

и

Штрих означает производную по координате распространениям. Решение имеет вид Комплексный параметр пучка целесообразно представить в виде

что эквивалентно

Величина считается диаметром пучка (рис. 2.9, а). Для поверхностей равной фазы (рис. 2.9, б), пересекающих ось в точке из (2.59) следует

есть радиус кривизны поверхности равной фазы, или волновой фронт в точке

Совершенно особую роль играет то место, в котором волновой фронт является плоским и пучок сжимается до

минимального диаметра оно называется перетяжкой пучка. Часто координата отсчитывается от перетяжки (см. рис. 2.9, б). Тогда при из (2.58) получается значение которое подставляется в решение (2.576):

Рис. 2.9. Амплитуда напряженности поля в гауссовом пучке. а — зависимость модуля амплитуды напряженности поля от радиальной координаты (в произвольных единицах); б — схематическое представление гауссова пучка. Вблизи оси поверхности равной фазы могут приближенно рассматриваться как участки сферической поверхности. Поэтому их сечения плоскостью являются участками круга, показанными штриховыми линиями. Радиус кривизны фазовых поверхностей изменяется с изменением Началом оси служит то место пучка, в котором он имеет плоский фазовый фронт. Модуль амплитуды напряженности поля убывает от своего максимального значения на оси по мере удаления от нее. Это показано на рис. а. Кривая, соответствующая спаду амплитуды до значения представлена на рис. б. В точках 1 и 2 модуль радиуса кривизны равен Если в этих точках расположить зеркала, имеющие тот же радиус кривизны, что и фазовые поверхности, то получится конфокальный резонатор, причем общий фокус зеркал лежит в точке

Используя (2.58), найдем соотношения для определения

Таким образом, контур пучка имеет вид гиперболы, асимптота которой образует угол с осью

Зная решение для можно из (2.57а) получить

где

Следовательно, для амплитуды напряженности поля можно записать

Квадрат отношения описывает убывание интенсивности пучка вдоль оси вследствие его расширения; есть разность фаз на оси между лазерным пучком и плоской волной той же частоты. Мы описали распространение основной моды, имеющей особое значение в лазерной физике. Аналогичным образом можно исследовать все другие распространяющиеся моды, образующие ортогональную систему решений волнового уравнения (2.55а). Эти моды могут быть охарактеризованы такими же параметрами вследствие чего на пространственное распределение основной моды, естественно, накладывается более сложная поперечная структура.

Рассмотрим теперь преобразование распространяющихся мод линзами или зеркалами. Идеальная линза оставляет поперечное распределение поля в моде пучка неизменным, т. е. основная мода падающего на линзу излучения, как и мода высшего порядка, сохраняется. Линза изменяет только параметры пучка Идеально тонкая линза с фокусным расстоянием преобразует сферическую волну с радиусом кривизны в сферическую волну с радиусом кривизны определяемым уравнением

(Радиус кривизны положителен, если из бесконечности, волновой фронт представляется выпуклым). Фазовый фронт основной моды, который приближенно можно считать сферической поверхностью, преобразуется аналогичным образом. Поскольку диаметры пучка по обе стороны тонкой линзы равны, то параметры непосредственно перед линзой и позади нее удовлетворяют уравнению

В свободном пространстве перед линзой и позади линзы изменение задается формулой (2.576). Если мы зададим параметр на расстоянии слева от линзы и пожелаем определить параметр на расстоянии справа от линзы, то сможем записать

и

откуда следует

где

Мы рассчитали действие линзы на распространяющуюся моду, что позволяет нам перейти к исследованию полей излучения в открытых резонаторах.

Рис. 2.10. Симметричный резонатор. а — схематичное представление симметричного резонатора длиной со сферическими зеркалами с радиусами кривизны б - схематичное представление резонатора в виде «развернутого» расположения линз.

Будем считать, что зеркала велики по сравнению с диаметром пучка. Поле излучения в резонаторе создается пучком волн, распространяющихся в резонаторе слева направо и справа налево. После полного прохода параметры пучка каждой резонаторной моды по определению повторяют свои значения. Это условие самосогласованности используется для расчета параметров моды. Подобно тому как это было сделано в предыдущем разделе, в целях упрощения рассмотрим симметричную конфигурацию резонатора, схематически представленную на рис. на рис. показана эквивалентная «развернутая» структура с использованием линз. В таком резонаторе условие самосогласованности должно выполняться уже для половины прохода. В обозначениях рис. следовательно, должно быть

Из (2.66), (2.67в) и (2.69) получаем

Из определяющего уравнения (2.58) для параметра пучка следует, что вещественное значение этой величины приводит

к бесконечному значению диаметра пучка Это означает нестабильность резонаторной моды. Поэтому для стабильной схемы следует, согласно (2.70), потребовать выполнения условия при котором подкоренное выражение в формуле

будет вещественным. (Положительный знак перед корнем не следует учитывать, так как, согласно (2.58), он соответствует мнимому значению диаметра пучка.) Сравнивая (2.71) и (2.58), легко констатировать, что непосредственно позади тонкой линзы или за зеркалом радиус кривизны волнового фронта равен радиусу кривизны зеркала и радиус пучка основной моды определяется формулой

В центре резонатора, где по соображениям симметрии должна находиться перетяжка пучка, справедливо соотношение

Особенно простыми оказываются соотношения для конфокального резонатора

Из рассмотренных до сих пор соотношений, связанных с представлением распределения поля конфокального резонатора на рис. 2.9, б, легко видеть, что в рамках использованных приближений для каждого резонатора можно найти эквивалентный конфокальный резонатор. Конфокальный резонатор на рис. 2.9, б построен таким образом, что в определенных местах гауссова пучка расположены зеркала, радиус кривизны которых равен радиусу кривизны волнового фронта светового пучка. Из условия самосогласованности явствует, что введение зеркал не изменяет заданного распределения напряженности поля в гауссовом пучке. Мы можем также вместо конфокальных зеркал поместить зеркала в других местах осиг. Они не изменят распределения поля, если их радиус кривизны будет равен радиусу кривизны волнового фронта в соответствующем месте. При этом схема не должна быть симметричной. Поскольку все эти различные схемы резонаторов приводят к одному и тому же распределению поля, их называют эквивалентными. Вследствие того что конфокальный резонатор обладает простыми, наглядными свойствами, часто для того или иного резонатора стараются найти эквивалентный конфокальный

резонатор. Применимость этого метода не ограничивается случаем двухзеркального резонатора; для более сложной системы линз и зеркал можно определить эквивалентный конфокальный резонатор, но при этом следует установить ту область пространства, в которой должны совпадать распределения поля.

Рис. 2.11. Несимметричный двухзеркальный резонатор.

Вычисляя сдвиг фазы отдельной моды при проходе через резонатор и учитывая требование самосогласованности, можно вычислить собственные частоты мод; но мы на этом не будем останавливаться подробно (см. [2.2]). Укажем лишь, что, например, для конфокального резонатора получатся те же результаты, которые уже были приведены в предыдущем разделе.

По аналогии с симметричным резонатором можно определить моды и параметры мод несимметричного резонатора (рис. 2.11). С этой целью следует выполнить вычисление для эквивалентного конфокального резонатора. При этом для радиусов пучка на зеркалах и в перетяжке получим выражения

Для расстояний перетяжки от зеркал имеем

причем теперь перетяжка может находиться как внутри, так и вне резонатора.