1.1.4. Соотношения между вероятностями переходов при тепловом равновесии

Среди рассматриваемых процессов выделим теперь случай теплового излучателя (абсолютно черное тело), в котором атомы находятся в состоянии теплового равновесия с полем излучения. В этом случае число атомов, переходящих в единицу времени из состояния 2 в состояние 1, должно равняться числу переходов в противоположном направлении:

здесь — числа атомов в единице объема на уровнях 1 и 2. Поскольку отношение при тепловом равновесии (для невырожденных уровней!) определяется распределением Больцмана

мы получаем из (1.10) и (1.1) для спектральной плотности энергии теплового излучателя

где/в — постоянная Больцмана, абсолютная температура. С другой стороны, из формулы излучения Планка следует соотношение для спектральной плотности абсолютно черного тела

Сравнивая (1.12) и (1.13), получим

и

Таким образом, коэффициенты Эйнштейна для вынужденного излучения и поглощения оказываются равными. (Для вырожденных уровней с кратностями вырождения имеет место более общее соотношение Отметим еще раз, что для получения более точной формулы для излучения (1.13) оказалось совершенно необходимым ввести в рассмотрение два различных процесса излучения, а именно спонтанное и вынужденное излучение. При постоянной спектральной плотности энергии доля индуцированного излучения убывает по мере возрастания частоты.

Заметим, что аналогичные рассуждения можно провести для вероятностей атомных переходов с поглощением и излучением фотонов в частотном интервале со... (со Отсюда, в частности, можно заключить, что все три процесса должны характеризоваться одной и той же функцией формы линии. Такое допущение уже было нами сделано, хотя и недостаточно обоснованно.

Соотношения (1.14) и (1.15) были получены для частного случая системы, находящейся в состоянии теплового равновесия. Однако с помощью квантовой теории оказалось возможным показать, что эти уравнения применимы и к неравновесным состояниям.