4.2. Теория

Теория активной синхронизации мод лазера с однородно уширенной линией впервые была разработана Куизенгой и Сигманом [4.5]. Ниже мы в основном будем придерживаться этой теории.

Полный теоретический анализ процесса образования импульсов должен был бы охватывать этап развития генерации из шума и этап постепенного формирования импульсов, заканчивающийся после определенного числа проходов установившимся режимом, при котором параметры импульсов больше не меняются. Однако, как будет показано, определение параметров импульсов в установившемся режиме не требует знания предыстории их развития. Форма, импульсов однозначно определяется требованием их самовоспроизведения после прохода через активную среду и модулятор. Такое самосогласованное решение можно найти, рассматривая изменение формы импульса при его проходе через отдельные элементы резонатора в соответствии со схемой на рис. 4.1.

В качестве усилителя выберем четырехуровневую лазерную среду со стационарной накачкой. При этом недопустимо пользоваться приближением скоростных уравнений, так как стационарная форма импульса существенно зависит от ограниченной спектральной ширины лазерного перехода (при условии что в резонаторе отсутствуют другие оптические элементы с более узкими полосами пропускания). Полное описание четырехуровневой системы уравнениями (1.50) и (1.56) приводит к математическим трудностям. Учет реальных условий, однако, позволяет сделать упрощения, так как из четырех уровней на рис. 2.2, б эффективную роль играют только второй и третий уровни лазерного перехода. При выполнении условия (2.17)

остальные два уравнения необходимо учитывать лишь для расчета населенностей уровней. Таким образом, получим в соответствии с (1.50), (1.63), (1.65) для уровней лазерного перехода следующие уравнения:

При определении плотности населенности верхнего лазерного уровня можно пренебречь конечной шириной лазерного перехода, так как ее учет дает лишь малую поправку. Это позволяет использовать скоростное уравнение (2.19):

Во многих практических случаях относительно велико, как, например, это имеет место в твердотельных лазерах с активной синхронизацией мод (например, ). В этом случае населенность третьего уровня за время одного прохода резонатора меняется мало. Поэтому мы можем подставить в Это позволяет найти решение (4.2) и получить из (4.1) при

Как покажет расчет, длительность лазерного импульса велика по сравнению с временем релаксации На спектральном языке это означает, что лазерным переходом могут возбуждаться не все аксиальные моды, т. е. что для большей части этих мод усиление вследствие процесса селекции мод мало и они выпадают. Основной вклад в подынтегральное выражение (4.4) вносится при Это позволяет нам разложить в ряд по и ограничиться двумя членами разложения. Тогда после выполнения операции интегрирования получим

При заданных граничных условиях, согласно общему методу решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение (4.5) легко представляется с помощью интеграла Пуассона. Учтем еще, что, как следует из рис. 4.1, лазерный импульс после отражения от зеркала вторично проходит через усилитель, так что эффективная длина усиливающей

среды удваивается. В результате получим для формы импульса в сечении (1) на рис. 4.1

где Выражение (4.6) найдено в пренебрежении слабой зависимостью среднего значения населенности от вызванной уменьшением усиления. Эту зависимость мы можем определить, решая (4.3). Пренебрегая при этом, согласно сделанным предположениям, величиной получим

Рассмотрим теперь изменение импульса при проходе через модулятор амплитуды. Функция передачи для одного прохода как для акустооптического, так и для электрооптического амплитудного модулятора представляется выражением

где — коэффициент модуляции, а сот — частота модуляции, — момент времени прохода через модулятор максимума импульса. Как уже указывалось в разд. 4.1, при синхронизации мод в резонаторе образуется короткий импульс с длительностью, соответствующей промежутку времени, в течение которого потери малы. Согласно (4.8), это имеет место дважды за каждый период модуляции. Поэтому В общем случае импульс проходит через модулятор не точно в момент достижения коэффициентом передачи максимума, а сдвинут относительно этого максимума на некоторый фазовый угол Так как то (4.8) можно заменить приближенным выражением

Тогда для амплитуды импульса в сечении (2) на рис. 4.1 с учетом потерь на зеркале и в модуляторе получим

где — коэффициент отражения выходного зеркала. Таким образом, мы рассчитали изменение импульса за один полный

проход резонатора. В непрерывном режиме форма импульса должна воспроизводиться после каждого прохода. Отсюда следует условие самосогласованности

Фазовый угол в этом выражении учитывает возможный сдвиг фазы за один проход, в то время как соответствует временному сдвигу максимума импульса, вызванному усилительными и частотно-избирательными свойствами активной среды. Таким образом, эффективное время полного прохода импульсом резонатора, содержащего активную среду, отличается от времени прохода «холодного» резонатора (т. е. резонатора без накачки) на величину Кроме того, попутно следует подчеркнуть, что отличается от значения — оптическая длина резонатора), так как импульсы распространяются не с фазовой, а с групповой скоростью. Подставляя в (4.11) соотношения (4.10) и (4.6), получим для неизвестной амплитудной функции линейное интегральное уравнение

Очевидно, что решение (4.12) можно искать в виде

так как подынтегральное выражение и множители, стоящие перед интегралом, являются гауссовыми функциями. Подставляя (4.13) в (4.6), получим

Максимум (4.14) имеет место при Следовательно, задержка импульса усилителем равна Момент прохождения импульсом модулятора должен быть зафиксирован

с учетом этой задержки: Подставляя (4.14) в (4.12), получим в качестве условий при решении интегрального уравнения (4.12) следующие соотношения:

При (4.15) — (4.17) являются системой связанных трансцендентных уравнений, решение которой определяет величины как функции лазерных параметров Наиболее короткие и интенсивные импульсы генерируются, очевидно, тогда, когда вершина импульса при каждом проходе резонатора достигает модулятора в момент времени, соответствующий максимальному значению коэффициента передачи, т. е. при Значение частоты модуляции Юпго в этом случае определяется из (4.15) при

Решение уравнений (4.15) — (4.17) допускает отклонение частоты модуляции от этого значения на некоторую величину, которая определяет область стабильности лазерных параметров. Для параметров лазера, лежащих вне этой области, самосогласованных решений не существует, т. е. стабильные импульсные режимы невозможны.

Рассмотрим более детально значения параметров лазера и излучения, соответствующих в оптимальном случае самосогласованному решению. Из (4.16) следует, что

Так как для типичных значений параметров то можно считать, что . Тогда для длительности импульса получим

Коэффициент усиления согласно равенству (4.17), при самосогласованном решении равен

причем второе слагаемое в этом выражении дает лишь малую поправку. В совокупности с равенством и соотношением (4.7) выражение (4.21) позволяет определить энергию импульса. Проводя последовательную аппроксимацию и подставляя в (4.18), (4.20) и во второе слагаемое (4.21), можно найти более точное значение

Кратко остановимся на варианте применения фазового модулятора. Выражение для функции передачи (4.8) надо заменить в этом случае следующим:

Двойное значение знака в (4.22) соответствует существованию при фазовой модуляции двух решений для каждого из двух экстремальных значений фазы. Далее следует заметить, что при фазовой модуляции частоты модуляции и следования импульсов совпадают тогда как при амплитудной модуляции

Сначала рассмотрим идеальный случай прохождения импульса через модулятор точно в те моменты времени, когда фаза принимает экстремальные значения В этом случае частота модуляции определяется как Далее можно использовать полученное выше решение для случая амплитудной модуляции, в котором следует заменить на Тогда получим для множителя у в показателе экспоненты (4.13) из (4.19)

Следовательно, генерируемый сигнал имеет гауссову форму, а его фаза зависит от времени и пропорциональна Длительность импульса может быть определена из выражения (4.10), в котором следует заменить на

Мы видим, что в обоих случаях длительность импульса пропорциональна . Сократить длительность импульса можно, повышая частоту модуляции и меняя соответственно длину резонатора.

В качестве примера для лазера на АИГ: Nd, коэффициент отражения выходного зеркала которого длина резонатора ширина линии усиления при значении коэффициента модуляции рад получим длительность импульса

При малом отличии частоты модуляции сот от расчет может быть выполнен аналогично сделанному выше. Здесь член разложения экспоненты (4.22), прямо пропорциональный времени, ответствен за сдвиг частоты. Не вдаваясь в детали расчета, приведем на рис. 4.3 рассчитанные для случая фазовой модуляции зависимости длительности импульсов от расстройки Минимальная длительность импульсов имеет место при некоторой малой отрицательной расстройке, в то время как с увеличением положительной расстройки длительность импульсов монотонно растет. В случае амплитудной модуляции длительность импульсов минимальна при и монотонно нарастает с увеличением как положительной, так и отрицательной расстройки.

Рис. 4.3. Зависимость длительности импульса от расстройки при активной синхронизации мод с фазовой модуляцией. (По [4.5].)

Практический интерес представляет модификация результатов, выраженных равенствами (4.20) и (4.23), в том случае, когда ширина полосы частот ограничивается не спектральной характеристикой линии усиления, а, например, помещенным в резонатор эталоном Фабри—Перо, существенно сужающим эффективную полосу частот. В этом случае длительность импульсов зависит не от ширины линии усиления, а от ширины полосы пропускания эталона Фабри—Перо Она определяется следующим выражением: