7.2.3.3. Критерии эффективной синхронизации мод: вероятность срыва процесса развития импульсов и образования двойиых импульсов

Существование критического уровня интенсивности, ниже которого все импульсы поглощаются, связано с критерием установления режима синхронизации мод. Если в течение одного

прохода резонатора в конце линейной фазы ни один из флуктуационных выбросов не превысит критического уровня то все выбросы поглощаются и процесс развития импульсов прекращается. В этом случае лазер работает в режиме без синхронизации мод. Возможность реализации такого режима может быть охарактеризована лишь определенной вероятностью, которую мы определим ниже. мы рассчитали среднее число превышений относительного уровня интенсивности за время прохода резонатора . Оно определяется формулой (7.36). Вероятность того, что в произвольно выбранном (очень малом) интервале времени уровень превышается, выражалась формулой где есть число интервалов времени Соответственно вероятность того, что в течение всех рассмотренных интервалов времени уровень не превышается, дается формулой

Подставляя в (7.36) и (7.53), мы получим вероятность того, что после одного выстрела лазера импульсы, обусловленные синхронизацией мод, еще не обнаруживаются.

Вероятность определенным образом зависит от длины резонатора. Для фиксированных параметров лазера существует оптимальное время прохода для которого вероятность срыва процесса образования импульсов минимальна. Учет зависимости величин от времени прохода резонатора и в соответствии с (7.29) позволяет из (7.52) получить соотношение, связывающее и и ракс. Это позволяет исключить из (7.53) и и заменить условие минимума условием Это условие позволяет найти приближенное значение не зависящее от параметров лазера. При этом оптимальная длина резонатора определяется выражением

Наряду с возможно меньшей вероятностью срыва процесса формирования импульсов другим важным параметром, характеризующим качество синхронизации мод в лазере, является возможно меньшее значение вероятности образования двойных импульсов. Для оценки этой вероятности надо рассчитать вероятностное распределение отношения интенсивности максимального импульса к интенсивности второго по величине импульса Эту функцию распределения мы рассчитаем сначала для конца линейной фазы. Поле излучения в течение этой фазы содержит флуктуационных выбросов. Вероятность того, что относительная интенсивность максимального выброса находится в интервале а относительная интенсивность ближайшего по интенсивности выброса находится в интервале в то время как интенсивности всех остальных импульсов лежат в интервале определяется следующим выражением [7.11]:

Случайные величины заменяются новыми величинами Для функции распределения получим

Отношение интенсивностей в конце первой части нелинейной фазы может быть найдено из (7.47), для чего надо исключить Для этого необходимо еще раз записать (7.47) для максимального импульса и разрешить относительно Функцию распределения в конце первой части нелинейной фазы мы получим, составляя обратную функцию (что, впрочем, может быть сделано лишь приближенно) и подставляя ее в подынтегральное выражение (7.57). В течение второй части нелинейной фазы вследствие насыщения поглотителя, являющегося в этот период доминирующим эффектом, результирующее усиление быстро растет. В то же время оценки показывают, что изменение усиления, вызванное накачкой и снятием усиления, весьма мало. Поэтому в (7.11) можно приближенно положить в результате чего получим уравнение

Для отношения интенсивностей двух самых мощных импульсов в конце второй части (область 116) нелинейной фазы соответственно найдем выражение

При этом предполагалось, что в конце второй части нелинейной фазы Входящую в (7.59) интенсивность в конце первой части нелинейной фазы мы снова положим равной

Рис. 7.3. Зависимости вероятностей срыва режима формирования импульсов (кривые а) и установления режима двойных импульсов (кривые б), рассчитанные с учетом насыщения усиления от скорости накачки Р. Штриховые линии (кривые в) представляют вероятность установления режима двойных импульсов, рассчитанные без учета насыщения усиления. Параметры: не; кривая кривая В расчете были использованы параметры рубинового лазера и лазера на стекле с неодимом Параметры лазеров и поглотителей см. в табл. 7.1. (По [7.13].)

Для получения функции распределения в конце нелинейной фазы составим на основании (7.59) обратную функцию и подставим в функцию распределения На заключительном этапе усиления (область III), в течение которого поглотитель уже насыщен, а усилитель достигает насыщения, отношение интенсивностей обоих импульсов остается постоянным (см. п. 7.2.4). Поэтому в конце процесса усиления функция распределения определяет вероятность установления режима двойных импульсов. Два наиболее интенсивных импульса можно считать двойными импульсами, если отношение интенсивностей обоих импульсов в конце процесса усиления лежит в интервале Вероятность установления режима двойных импульсов равна

Рассчитанные в соответствии с изложенным зависимости вероятности образования режима двойных импульсов от скорости накачки Р и времени прохода резонатора для лазера на стекле с неодимом и рубинового лазера показаны соответственно на рис. 7.3 и 7.4 [7.13]. На рисунках одновременно отложены значения вероятности срыва режима формирования импульсов, рассчитанные по (7.53).

Рис. 7.4. Зависимости вероятностей срыва режима формирования импульсов (кривые а) и установления режима двойных импульсов (кривые б) от времени прохода резонатора и. Штриховые линии (кривые в) показывают вероятность образования режима двойных импульсов, рассчитанную без учета насыщения усилителя. Штрихпунктирной линией отмечеи минимум вероятности срыва режима формирования импульсов. Параметры: а — параметры рубинового лазера при (кривая 1) и (кривая 2); б — параметры лазера на стекле с неодимом при (кривая 1) и (кривая 2). Параметры лазеров и поглотителей приведены в табл. 7.1. (По [7.13].)

Кривые для вероятности срыва режима формирования импульсов обозначены буквой а, а кривые для вероятности образования двойных импульсов — буквой б. Для сравнения на рисунках представлены кривые для вероятности образования двойных импульсов (штриховые

кривые в), рассчитанные без учета снятия усиления (как это было сделано в работе [7.11]).

Рис. 7.3 показывает, что вероятность срыва режима формирования импульсов в значительно большей степени зависит от скорости накачки Р, чем вероятность образования режима двойных импульсов. Очень быстрое уменьшение вероятности срыва режима формирования импульсов, особенно при больших сечениях усиления и малых сечениях поглощения (см. рис. 7.3), в какой-то степени позволяет предполагать наличие второго порога. Лазер начинает генерировать при превышении интенсивностью накачки первого порога. При этом режим синхронизации мод еще не достигается. Короткие импульсы могут образовываться только при превышении второго порога, обозначаемого через Р, выше которого вероятность срыва режима формирования импульсов резко снижается. Как мы, однако, установили, в отличие от первого второй порог не может быть определен однозначно, так как каждое значение скорости накачки Р связано лишь с определенной вероятностью образования импульсов. При меньших потерях на поглощение эта вероятность уменьшается менее резко (см. рис. 7.3, а), что затрудняет точное введение второго порога.

В отличие от вероятности срыва режима формирования импульсов вероятность установления режима двойных импульсов растет с увеличением скорости накачки. Величину Р следует выбирать так, чтобы обе вероятности были возможно меньшими. Увеличение потерь на поглощение снижает вероятность установления режима двойных импульсов, а в лазере на стекле с неодимом и вероятность срыва режима формирования импульсов.

Сравнение кривых б и в на рис. 7.3 показывает, что вероятность выделения из шума в конце линейной фазы наиболее интенсивного импульса увеличивается при снятии инверсии населенностей. В результате этого вероятность установления режима двойных импульсов уменьшается в оптимальной области примерно на один порядок. Следовательно, и в твердотельных лазерах снятие инверсии в активной среде способствует синхронизации мод, хотя механизм этого процесса полностью отличается от такового в лазерах на красителях и активная среда во время формирования моноимпульса в резонаторе еще далека от насыщения. На рис. 7.4 показаны результаты, полученные при изменении времени прохода резонатора и. Параметром кривых является Кривые зависимости вероятности срыва режима формирования импульсов от времени прохода резонатора имеют четкий минимум, глубина которого растет с увеличением интенсивности накачки. Образование минимума можно объяснить тем, что с ростом времени прохода резонатора число флуктуационных выбросов в конце линейной фазы

растет. В результате увеличивается скорость снятия инверсии, что является причиной повышения вероятности срыва режима формирования импульсов. При малой длине резонатора и число флуктуационных выбросов уменьшается, в результате чего растет вероятность того, что ни один из этих выбросов не превысит уровень На рис. 7.4 штрихпунктирной кривой соединены минимальные значения вероятности срыва режима формирования импульсов. Эта кривая соответствует рассчитанной численным методом. Вероятность установления режима двойных импульсов увеличивается с ростом времени прохода резонатора монотонно. Учитывая оба критерия, делесообразно выбирать длину резонатора и, следовательно, время прохода и несколько меньшим, чем определяемое равенством (7.54).

Выше численные примеры приводились только для лазера на стекле с неодимом и рубинового лазера. Лазер на мы сознательно не рассматривали. Как это следует из табл. 7.1, сечение для вынужденного излучения в лазере на АИГ примерно в 20 раз больше, чем в обоих рассмотренных типах лазеров. В результате этого инверсия населенностей снимается значительно быстрее и предположение, сделанное при получении уравнения больше не выполняется, что не позволяет использовать примененный выше приближенный метод расчета. Поэтому мы ограничимся лишь качественным анализом влияния на синхронизацию мод большого значения эффективного сечения. Обусловленное им более быстрое снятие инверсии повышает вероятность срыва режима формирования импульсов, в результате чего требуемые для синхронизации мод скорости накачки также растут. С другой стороны, однако, более быстрое снятие инверсии населенностей благоприятным образом сказывается на снижении вероятности установления режима двойных импульсов, которая поэтому при не слишком больших скоростях накачки оказывается существенно меньшей. Обеспечение малой вероятности установления режима двойных импульсов, как следует из предыдущего рассмотрения, в большей степени сужает диапазон допустимых изменений параметров установки, чем обеспечение малой вероятности срыва режима установления импульсов. Поэтому большее значение сечения излучения повышает при оптимальных условиях стабильность режима генерации коротких импульсов, что подтверждается экспериментом.

Результат, аналогичный достигаемому повышением сечения излучения, может быть получен при применении в резонаторе телескопа. Если площади сечения пучков излучения в поглотителе и усилителе различны, то множитель К в уравнении (7.46) должен быть заменен множителем где

площади сечения пучков соответственно в усилителе и поглотителе. Таким образом, увеличение значения может быть достигнуто также увеличением отношения . С другой стороны, значение А не должно быть слишком большим, так как в этом случае критический уровень становится слишком высоким и в лазере устанавливается режим свободной генерации.