7.2.2. Линейная фаза формирования импульса (область I)

Накачка импульсной лампой переводит ионы активной среды лазера на верхний лазерный уровень, после чего возникает люминесценция. Интенсивность излучения в резонаторе при условии, что усиление превосходит потери, начинает нарастать ( К началу линейной фазы интенсивность излучения еще мала, что позволяет пренебречь изменением инверсии населенностей в усилителе и поглотителе, вызванном лазерным излучением. В дальнейшем усиление, согласно (7.12), растет линейно с увеличением числа проходов резонатора

Начало отсчета времени здесь выбрано таким образом, что порог генерации лазера превышается при Мы можем упростить (7.11), учитывая, что Дифференциальное уравнение (7.11) при этом становится линейным и может решаться при помощи преобразования Фурье. Тогда после обратного преобразования к временным зависимостям найдем

где Так как статистические свойства члена учитывающего шум, в соответствии с (1.58)

могут быть описаны белым гауссовым шумовым процессом с коррелятором

то из (7.21), предполагая, что получим для корреляционной функции напряженности поля

с зависящим от числа проходов К временем корреляции

которое можно также считать средней продолжительностью флуктуаций излучения. Статистическое среднее интенсивности дается выражением

где есть интенсивность на пороге генерации лазера и — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Увеличение времени корреляции с ростом выражает сужение спектра излучения, вызванное протекающим в течение линейной фазы процессом селекции мод, находящихся на краю линии лазерного перехода, для которых усиление оказывается ниже порогового. Соответственно получим для нормированной корреляционной функции выражение

Линейная фаза заканчивается тогда, когда начинает сказываться нелинейность усилителя или поглотителя. В соответствии

с (7.12) снижение усиления начинает играть роль тогда, когда средняя интенсивность принимает значение

Здесь есть множитель, характеризующий малость слагаемого насыщения в (7.12) (С 15), Ко— число проходов к моменту окончания линейной фазы. Если раньше сказывается нелинейность поглотителя, то линейная фаза заканчивается при достижении максимальным импульсом интенсивности

где (см. (7.39)) и для характеристики малости нелинейного члена снова вводится Если еще ввести множитель который показывает, во сколько раз интенсивность самого большого импульса превосходит средний уровень то, подставляя в (7.25), можно вывести формулу, определяющую число проходов Ко к концу линейной фазы:

где в соответствии с механизмом насыщения величина должна рассчитываться либо из (7.27), либо при помощи (7.28). Так как имеет порядок величины и К, как это следует из (7.29), при изменении этого значения на два порядка меняется лишь на 5%, то независимо от механизма поглощения

Для средней длительности флуктуаций интенсивности в конце линейной фазы получим тогда из (7.24)

В конце этого раздела мы кратко остановимся на статистических свойствах поля излучения в конце линейной фазы. Согласно (7.21), напряженность поля зависит от свойств шума, выражаемых членом который описывается как гауссов шумовой процесс. Исходя из факторизуемости корреляционной функции порядка для легко показать факторизуемость соответствующей корреляционной функции для

Следовательно, проявляется во время линейной фазы как гауссов шумовой процесс с исчезающим средним значением, корреляционная функция второго порядка которого (7.23) несет всю информацию о статистических свойствах этого процесса. В комплексных амплитудах случайные величины статистически независимы и обладают одинаковой корреляционной функцией. Совместная плотность вероятности порядка легко находится, если известна корреляционная функция второго порядка (см., например, [7.59]). Если от действительной и мнимой частей перейти к амплитуде и фазе то представляется возможным найти для совместной плотности вероятности четвертого порядка следующую формулу [7.57]:

В соответствии с (7.26) мы здесь для краткости записи положили Плотности вероятности более низких порядков легко находятся из (7.32) путем интегрирования. Так, например, амплитуда описывается распределением Рэлея в то время как фаза в интервале распределена равномерно.

В дальнейшем рассмотрении мы используем среднее число превышений заданного уровня амплитуды в интервале времени и при стационарном шумовом процессе [7.57]. Мы разделим интервал и на частей длительность которых меньше времени корреляции интенсивности. Если в момент времени превысит значение в момент времени то производная при определяется как Это требует выполнения неравенства в том случае, когда должна превысить уровень внутри интервала Тогда вероятность превышения уровня внутри интервала определяется выражением

есть совместная плотность вероятности для амплитуды и ее производной С другой стороны, эта вероятность (7.33) как раз равна отношению среднего числа интервалов , в течение которых средний уровень превышается, к общему числу интервалов: Так как полный временной интервал и (время пробега резонатора) выражается как то в результате предельного перехода получим

Используя тот факт, что производная по времени от гауссова процесса также является гауссовым процессом, получим для совместной плотности вероятности выражение

где Используя (7.26) и подставляя (7.35) в (7.34), найдем для среднего числа превышений заданного уровня за время и выражение [7.58]

Исходя из условия, что в среднем наивысший уровень должен превышаться максимальным импульсом точно один раз (рмакс, можно оценить усредненное за большое число лазерных выстрелов значение интенсивности наивысшего максимума, отнесенного к средней интенсивности в резонаторе при

Для типичных параметров лазера рмакс оказывается лежащим в интервале от четырех до восьми.

7.2.3. Нелинейная фаза формирования импульса (область II)

Полный анализ синхронизации мод требует одновременного учета процессов насыщения в поглотителе и усилителе. При определенных условиях, зависящих от параметров лазерной

системы, можно, однако, предположить, что процесс снятия инверсии населенностей в усилителе начинает играть роль лишь после полного насыщения поглотителя. Такое приближение облегчает расчет параметров максимального импульса, однако оно недопустимо, если требуется определить изменение следующего ближайшего максимума. Рассматривая нелинейную фазу, мы сначала пренебрежем влиянием сжатия усиления, а затем детально обсудим это влияние.