1.3.3. Рассмотрение двухуровневой системы

В заключение раздела покажем для простейшего случая двухуровневой системы (находящейся в резонансе с электромагнитным полем как введенные в разд. 1.1 скоростные уравнения связаны с представленными здесь более общими основными уравнениями. Такое сопоставление позволит определить эмпирически введенные в разд. 1.1 коэффициенты Эйнштейна связанный с ними уравнением (1.14) коэффициент а также функцию формы линии . Если собственные функции молекулы известны, то эти величины по крайней мере в принципе можно вычислить.

В соответствии с (1.56) и (1.57) уравнение для матрицы плотности двухуровневой системы имеет вид

Согласно (1.59), поляризация определяется соотношением

Производя подстановки

и пренебрегая быстро осциллирующими членами, которые не вносят существенного вклада (приближение называется rotating wave approximation), получим для

Переход к скоростным уравнениям возможен в тех случаях, когда членом с производной по времени в (1.65) можно пренебречь по сравнению с остальными членами. Если промежуток времени, в течение которого происходят существенные процессы, определяется длительностью импульса лазера можно сделать оценку по порядку величины: из которой следует условие применимости скоростных уравнений

Кроме того, поля должны быть не слишком сильными, а такими, чтобы можно было избежать быстрых осцилляций (так называемых осцилляций Раби) молекулярных параметров (см. разд. 9.1). Это условие приводит к неравенству

При таких предпосылках мы можем подставить стационарное решение для из (1.65) в (1.61). Умножая диагональные элементы матрицы плотности на плотность населенности участвующих в процессе частиц получим

где

В (1.67) мы ввели плотность потока фотонов Кроме того, в (1.68) учтено, что ориентации дипольных моментов различных молекул могут быть различными и что поэтому должно выполняться усреднение по всем ориентациям молекулярных дипольных моментов. Воспользуемся теперь соотношением (1.18) между поперечным сечением поглощения и коэффициентом Эйнштейна для которого получим

Из уравнений (1.14) и (1.15) следует, что мы нашли зависимость от атомных параметров также и для других коэффициентов Эйнштейна.

Пользуясь выражением (1.63) для поляризации и стационарным решением (1.65), получим из (1.50) уравнение для амплитуды напряженности поля

Предположим, что имеет место неравенство — длина кюветы). Тогда в (1.71) можно будет пренебречь производной по времени по сравнению с другими членами. Умножая (1.71) на Л и складывая с аналогичным комплексно-сопряженным уравнением, получим для плотности потока фотонов уравнение (1.21), в то время как (1.67) идентично (1.22).