6.2. Теория

6.2.1. Основные уравнения

Теоретическое исследование лазеров на красителях с пассивной синхронизацией мод было впервые выполнено Нью на основе скоростных уравнений [6.8, 6.9]. Он показал, что использование комбинированного действия насыщающегося поглощения и снижения усиления позволяет ускорить процесс укорочения импульса при надлежащем выборе параметров лазера, обеспечивающем подавление импульса на фронтах и усиление его пика. (Эту область параметров называют также статической зоной укорочения импульса.) Такой анализ не учитывал частотно-зависимых эффектов и эффектов ограничения полосы частот. Это не позволило описать стационарный режим и теоретически оценить достижимые длительности импульсов, их форму и т. д. (в приближении применения скоростных уравнений длительность импульса с ростом числа его проходов стремится к нулю). Простое аналитическое описание стационарного режима было сделано Хаусом. Он учел зависящее от частоты действие оптического фильтра [6.10], но одновременно использовал ряд приближений, такие, как малая (по сравнению с энергией насыщения усилителя и поглотителя) энергия импульсов и малые потери и усиление за один проход, что сильно ограничило область применимости полученного решения. В результате этого допустимые параметры лазера оказались заключенными в весьма малую область, не содержащую зачастую экспериментально реализуемых величин. В дальнейшем изложении мы будем следовать одной из работ Хермана и Вайднера, в которой процесс синхронизации мод исследовался при более общих условиях и на энергию импульсов, потери и коэффициент усиления никаких ограничений не налагалось [6.11].

В связи со сказанным рассмотрим линейный резонатор, изображенный на рис. 6.3. Активная среда возбуждается источником непрерывной накачки, что позволяет использовать для

описания процесса усиления соотношения, выведенные в предыдущей главе, причем теперь следует положить Мы можем, однако, еще более упростить описания, предполагая, что за короткое время прохождения импульса через активную среду изменением инверсии населенностей за счет накачки можно пренебречь, считая, что изменение инверсии обусловлено исключительно импульсом. В соответствии с этим в интервале времени прохождения импульса в уравнении (5.8) можно пренебречь слагаемым по сравнению с Кроме того, предполагается выполнение условий резонанса причем имеется фаза, не зависящая от времени Тогда результат интегрирования примет вид

где определяется начальным условием в момент времени, предшествующий прохождению импульса к которому в процессе накачки на верхнем лазерном уровне была создана определенная населенность

Рис. 6.3. Схематическое изображение оптических элементов лазера на красителе с синхронизацией мод. обозначают времена пробега импульсом отмеченных отрезков. Числа от 0 до 7 показывают позиции внутри резонатора.

Это позволяет из (5.3) найти

Здесь соответствует усилению переднего фронта импульса, причем следует учитывать, что в силу условия и инверсия населенностей зависит от предыдущего прохода импульса и от положения усилителя внутри резонатора. В соответствии с этим мы получим из (5.11а), (5.12), (6.1) и (6.2) выражение для определения изменения формы импульса после прохода им активной среды от позиции 0 до позиции 1 на рис. 6.3:

где для сокращения записи введено

соответствует коэффициенту усиления переднего фронта импульса, если он проходит через усилитель справа.

Рис. 6.4. Схема уровней насыщающегося поглотителя.

Уровень 3 есть очень короткоживущее колебательное состояние состояния (уровень 2). Плотность населенности уровня пренебрежимо мала

Для энергии импульса, нормированной на энергию насыщения,

после прохода через усилитель мы получим

Изменение импульса в результате прохода его через насыщающийся поглотитель описывается аналогичным образом. Насыщающийся поглотитель при этом можно считать трехуровневой системой (рис. 6.4), в которой уровень 3 является возбужденным колебательным уровнем возбужденного электронного уровня, населенность которого в силу малости времени релаксации пренебрежимо мала. Кроме того, так как то можно пренебречь релаксацией на основной уровень. В результате скоростные уравнения принимают вид

Решение этой системы уравнений совершенно аналогично соответствующему решению для усилителя. Для интенсивности в позиции 2 получим

Здесь есть передаточная функция поглотителя на переднем фронте импульса, значение этой функции при проходе импульса через поглотитель справа. Множитель содержит отношение абсорбционных сечений и отношение сечений пучков излучения в усиливающей и поглощающей средах. Применение телескопа позволяет увеличить значения и . По аналогии с (6.4) энергия в позиции 2 дается выражением

Для обратного прохода импульса через усилитель и поглотитель мы получим аналогичные формулы, причем и следует заменить на В дальнейшем мы используем соотношения, имеющие место между различными коэффициентами передачи. При этом надо учесть, что время релаксации усилителя по порядку величины равно временам прохода резонатора в то время как время релаксации поглотителя мало по сравнению с но либо превышает, либо совпадает по порядку величины с иА (поглотитель размещается вблизи зеркала). Обозначим плотность населенности верхнего лазерного уровня до прохода импульса справа и слева соответственно через и после прохода импульса — через а стационарную населенность, обеспечиваемую накачкой, — через Выражение для изменения населенности вследствие релаксации молекул за время движения (см. рис. 6.3) импульса, идущего справа, после его прохода через активную среду и до момента прохода слева имеет вид

Для усиления переднего фронта импульса, входящего слева, с учетом получим

где есть коэффициент усиления для слабого сигнала. Из (5.2а) и (6.3) с учетом того, что найдем следующее соотношение:

используя которое, получим из (6.11)

Аналогичным образом мы можем определить изменение инверсии населенностей активной среды за время прохода импульса, распространяющегося справа налево. При этом следует учитывать изменение формы импульса и энергии в соответствии с соотношениями (6.8) и (6.9):

Проведем аналогичный расчет для поглотителя, учитывая дополнительно условие Получим

где — коэффициент передачи поглотителя для слабого сигнала.

Используя формулы (6.3), (6.5), (6.8) и (6.9), можно теперь получить равенство, определяющее изменение параметров импульса по мере его прохождения через усилитель, насыщающийся поглотитель и обратно:

где

Влияние частотно-селектирующего элемента описывается так же, как в разд. 5.2. Предполагая, что ширина спектра импульса мала по сравнению с полушириной полосы пропускания частотно-селективного элемента, получим после двукратного прохода через этот элемент

Для определения установившейся формы стационарных импульсов в лазере на красителе с непрерывной накачкой надо написать условие самопроизведения импульса после каждого полного прохода резонатора:

Здесь есть возможный сдвиг во времени максимума, вызванный действием усилителя и насыщающегося поглотителя. Комбинируя (6.16), (6.18) и (6.19), мы получим нелинейное интегродифференциальное уравнение, определяющее стационарную форму импульса Оно идентично (5.18), если считать, что коэффициент усиления определяется равенством (6.17). Для решения этого уравнения можно также воспользоваться подстановкой (5.19), так как на фронтах импульса лишь слабо зависит от времени. Так же, как и в разд. 5.2, мы с помощью этой подстановки получим шесть трансцендентных уравнений для определения параметров лазера. Добавим к ним в качестве седьмого уравнения (6.13), что позволит однозначно определить семь неизвестных величин для заданных параметров лазера Остальные величины являются явными функциями . Для их подстановки в равенство (6.17) можно воспользоваться выражениями (6.12), (6.14) и (6.15).